Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Der Mittelwert einer Funktion lässt sich über das Integral bestimmen.|Bezeichnen wir mit <math>f</math> eine Funktion. Der Mittelwert einer Funktion <math>f</math> lässt sich auf dem Intervall <math>[a; b]</math> berechnen. Hierzu benötigst du folgende Formel: | {{Box| Der Mittelwert einer Funktion lässt sich über das Integral bestimmen.|Bezeichnen wir mit <math>f</math> eine Funktion. Der Mittelwert einer Funktion <math>f</math> lässt sich auf dem Intervall <math>[a; b]</math> berechnen. Hierzu benötigst du folgende Formel: | ||
<math> M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | Ein Auto beschleunigt 40 Sekunden lang. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t</math> ist gegeben durch | ||
<math> f(t)= \frac{5}{4} | <math> f(t)= \frac{5}{4} \cdot t </math>, wobei <math>t</math> in Sekunden und die Funktion <math>f(t)</math> in m/s angegeben wird. | ||
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? | ||
'''Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe''' | '''Vorgehen zur Bearbeitung der Testaufgabe''' | ||
#Benutzung der Formel: <math> M= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | #Benutzung der Formel: <math> M= \frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx </math> | ||
#Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} | #Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt </math> | ||
#Ausrechnen: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} | #Ausrechnen: <math> M= \frac{1}{40-0} \cdot \int_{40}^{0} \frac{5}{4} \cdot t \,dt= \frac{1}{30} \cdot [\frac{5}{8} \cdot t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} \cdot \frac{1}{40} \cdot 40^2 = 25 </math> | ||
#Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | #Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto <math> 25 m/s </math>.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
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{{Lösung versteckt| Benutze die Formel und setze alles ein was du hast | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Benutze die Formel und setze alles ein was du hast | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{4-0} \int_{4}^{0} 2x^3− 12x^2 + 20x + 30 \,dx = \frac{1}{4} | {{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{4-0} \cdot \int_{4}^{0} 2x^3− 12x^2 + 20x + 30 \,dx = \frac{1}{4} \cdot (\frac{4^4}{2} - 4 \cdot 4^3 + 10 \cdot 4^2 + 30 \cdot 4) = 38 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|blau|dunkel}} }} | ||
{{Box|Aufgabe 3: Löse die Textaufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift) | In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien innerhalb von 10 Tagen ist durch die Funktion | {{Box|Aufgabe 3: Löse die Textaufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift) | In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien innerhalb von 10 Tagen ist durch die Funktion | ||
<math> f(x) = −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1 </math> gegeben , wobei x in Tagen mit <math> 0 \leq\ x, x \geq\ 10 </math>. | <math> f(x) = −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1 </math> gegeben , wobei <math> x </math>in Tagen mit <math> 0 \leq\ x, x \geq\ 10 </math>. | ||
a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag? | a) Wie viele Bakterien gibt es am 8. Tag? | ||
{{Lösung versteckt| Setze für x=8 ein | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Setze für <math> x = 8 </math> ein | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> f(8) = 358 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt| <math> f(8) = 358 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt| Nutze die Formel des Mittelwerts | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Nutze die Formel des Mittelwerts | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{8-0} \int_{8}^{0} −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1\,dx = \frac{1}{8} | {{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{8-0} \cdot \int_{8}^{0} −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1\,dx = \frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{5} \cdot 8^5 + 10 \cdot 8^4 - \frac{500}{3} \cdot 8^3 + 1000 \cdot 8^2 + 8 - 0) = 1635,13 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | ||
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{{Lösung versteckt| Nutze die Formel des Mittelwerts. Bedenke dass du nun ein anderes Intervall als bei b) hast. | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Nutze die Formel des Mittelwerts. Bedenke dass du nun ein anderes Intervall als bei b) hast. | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{4-2} \int_{4}^{2} −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1\,dx = \frac{1}{2} | {{Lösung versteckt| <math> M= \frac{1}{4-2} \int_{4}^{2} −x^4 + 40x^3 −500x2 + 2000x + 1\,dx = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{5} \cdot 4^5 + 10 \cdot 4^4 - \frac{500}{3} \cdot 4^3 + 1000 \cdot 4^2 + 4 - (-\frac{1}{5} \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 - \frac{500}{3} \cdot 2^3 + 1000 \cdot 2^2 + 2)) = 1635,13 </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
| Arbeitsmethode}} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
Gegeben ist die Funktion <math> f(x) = x^3 - 6 | Gegeben ist die Funktion <math> f(x) = x^3 - 6 \cdot x + 11\frac{3}{4} \cdot x - 5\frac{1}{2} </math> auf dem Intervall <math>[1; 3]</math> | ||
1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: | 1 Schritt: Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion F: | ||
<math> F(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5\frac{7}{8}x^2 - 5\frac{1}{2}x + C </math> | <math> F(x) = \int x^3 - 6x^2 +11\frac{3}{4}x - 5\frac{1}{2} = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5\frac{7}{8}x^2 - 5\frac{1}{2}x + C </math> | ||
2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x): | 2 Schritt: Berechne F(a) und F(b) durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Intervallgrenzen in F(x): | ||
<math> F(1) = \frac{1}{4} | <math> F(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 5\frac{7}{8} \cdot 1^2 - 5\frac{1}{2} \cdot 1 + C = - 1\frac{3}{8} + C </math> | ||
<math> F(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | <math> F(3) = 2\frac{5}{8} + C </math> | ||
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=== Der zweite Teil des Hauptsatzes === | === Der zweite Teil des Hauptsatzes === | ||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt: | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion <math> F </math> aus und bestimmen <math> f(x)</math> . Hierbei gilt: | ||
<math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} | <math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} | ||
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{{Box|Löse die Aufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)| | {{Box|Löse die Aufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)| | ||
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion f mit <math> f(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion <math>f</math> mit <math> f(x) = \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 </math> | ||
[[Datei:Abbildung der Funktion f(x).jpg|mini|Abbildung der Funktion f(x)]] | [[Datei:Abbildung der Funktion f(x).jpg|mini|Abbildung der Funktion f(x)]] | ||
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{{Lösung versteckt| Nutze das Intervall von Aufgabe a)| Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Nutze das Intervall von Aufgabe a)| Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{3}^{-1)} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{25}{12} </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}} | {{Lösung versteckt| <math> M =\frac{1}{3 + 1}\int_{3}^{-1)} \frac{3}{4}x^3 - 2x^2 + 2x + 1 \,dx = \frac{1}{4} (\frac{147}{16}- \frac{41}{48}) = \frac{25}{12} </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|blau|dunkel}} }} | ||
{{Box|Löse die Textaufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift) |Ein Kirchenfenster wird oben durch die Funktion <math> f(x) = −x^2 +10x −17 </math> im Intervall <math>[3; 7]</math> begrenzt,<math> x </math> und <math> f(x)</math> in Metern. Wie viel <math> m^2 </math> Glas wurde benötigt? | {{Box|Löse die Textaufgabe (Du brauchst einen Zettel und einen Stift) |Ein Kirchenfenster wird oben durch die Funktion <math> f(x) = −x^2 +10x −17 </math> im Intervall <math>[3; 7]</math> begrenzt,<math> x </math> und <math> f(x)</math> in Metern. Wie viel <math> m^2 </math> Glas wurde benötigt? | ||
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{{Lösung versteckt| Mache dir eine Skizze | Tipp | Tipp }} | {{Lösung versteckt| Mache dir eine Skizze | Tipp | Tipp }} | ||
{{Lösung versteckt| <math>\int_{7}^{3)} −x^2 +10x −17 \,dx = (-\frac{7^3}{3} + 5 * 7^2 - 17 * 7) - (-\frac{3^3}{3} + 5 * 3^2 - 17 * 3)= \frac{80}{3} </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}} | {{Lösung versteckt| <math>\int_{7}^{3)} −x^2 +10x −17 \,dx = (-\frac{7^3}{3} + 5 * 7^2 - 17 * 7) - (-\frac{3^3}{3} + 5 * 3^2 - 17 * 3)= \frac{80}{3} </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
==Partielle Integration== | ==Partielle Integration== | ||
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{{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln | Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x) und betrachte die Grenzen zunächst einzeln | Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= 4x - \frac{x^2}{2} </math> daraus folgt <math> F(4) - F(1) = (4 | {{Lösung versteckt| <math> F(x)= 4x - \frac{x^2}{2} </math> daraus folgt <math> F(4) - F(1) = (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} ) - (4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2} </math> |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x), betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln | Tipp 2| Tipp 2}} | {{Lösung versteckt| Bilde die Stammfunktion von f(x), betrachte die Grenzen zunächst einzeln und denke an die binomischen Formeln | Tipp 2| Tipp 2}} | ||
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x </math> daraus folgt <math> F(6) - F(1) = (\frac{6^3}{3} + 2 | {{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x </math> daraus folgt <math> F(6) - F(1) = (\frac{6^3}{3} + 2 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6) - (\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1) = \frac{216}{3} - \frac{19}{3} = \frac{485}{3} </math> |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | ||
Version vom 23. April 2020, 17:40 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration, Integration durch Substitution und Integration mithilfe des Hauptsatzes
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Aufgaben