Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | <math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | ||
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion''' zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion''' zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |Merksatz}} | ||
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</quiz> | Weitere wichtige Regeln: | Weitere wichtige Regeln: }} | </quiz> | Weitere wichtige Regeln: | Weitere wichtige Regeln: }} | ||
|Farbe= | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ==Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen== | ||
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#Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt </math> | #Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt </math> | ||
#Ausrechnen: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt= \frac{1}{30} * [\frac{5}{8} * t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} * \frac{1}{40} * 40^2 = 25 </math> | #Ausrechnen: <math> M= \frac{1}{40-0} \int_{40}^{0} \frac{5}{4} * t \,dt= \frac{1}{30} * [\frac{5}{8} * t^2]_{40}^{0}=\frac{1}{40} * \frac{1}{40} * 40^2 = 25 </math> | ||
#Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} |}} | #Antwortsatz formulieren: Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrug beim Auto 25 m/s.| Beispiel anzeigen | Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
====Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten==== | ====Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten==== | ||
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b)Begründe, dass es zu <math>f</math> eine Integralfunktion <math> F_1 </math> gibt. | b)Begründe, dass es zu <math>f</math> eine Integralfunktion <math> F_1 </math> gibt. | ||
c) Bestimme <math>F_1(4)</math> näherungsweise, indem du den Mittelwert bestimmst. | | c) Bestimme <math>F_1(4)</math> näherungsweise, indem du den Mittelwert bestimmst. | Arbeitsmethode }} | ||
{{Box|Löse die Textaufgabe. (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)| In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien in den ersten 10 Tagen durch die '''Funktion''' | {{Box|Löse die Textaufgabe. (Du brauchst einen Zettel und einen Stift)| In einem Labor werden Bakterien gezüchtet. Die Anzahl der Bakterien in den ersten 10 Tagen durch die '''Funktion''' | ||
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b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | b) Wie viele Bakterien gibt es in den ersten 8 Tagen im Durchschnitt? | ||
c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | c) Wie viele Bakterien werden durchschnittlich zwischen dem 2. und 4. Tag gezüchtet? | ||
| | | Arbeitsmethode}} | ||
==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
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=== Der zweite Teil des Hauptsatzes === | === Der zweite Teil des Hauptsatzes === | ||
Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt: | Die zweite Variante des Hauptsatzes ist sozusagen die Umkehrung der ersten Variante. Nun gehen wir vom Integral, also der Stammfunktion F aus und bestimmen f(x). Hierbei gilt: | ||
<math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|}} | <math> f(x) = F'(x) = F'(F(a) + \int_{a}^{x} f(t)\, dt = F'(a) + F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'(\int_{a}^{x} f(t)\, dt) = F'( F(x) - F(a)) </math>|Merksatz}} | ||
==Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ==Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung== | ||
Zeile 221: | Zeile 221: | ||
b) Berechne einen Näherungswert für <math> \int_{3}^{-1} f(x)\, dx </math>. | b) Berechne einen Näherungswert für <math> \int_{3}^{-1} f(x)\, dx </math>. | ||
c) Welchen exakten Wert für das Integral erhältst du mithilfe des Hauptsatzes? | | c) Welchen exakten Wert für das Integral erhältst du mithilfe des Hauptsatzes? | Arbeitsmethode}} | ||
==Partielle Integration== | ==Partielle Integration== | ||
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<math> \int e^x \cdot x\,dx = [e^x \cdot x] - \int e^x \cdot 1\,dx = [e^x \cdot x] - [e^x] = e^x \cdot (x-1) </math> | <math> \int e^x \cdot x\,dx = [e^x \cdot x] - \int e^x \cdot 1\,dx = [e^x \cdot x] - [e^x] = e^x \cdot (x-1) </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x \cdot x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x \cdot (x-1) </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x \cdot x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x \cdot (x-1) </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
==Integration durch Substitution== | ==Integration durch Substitution== | ||
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#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left[e^z\right]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left[e^{2x}\right]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} </math>| Beispiel anzeigen| Beispiel verbergen}} |Merksatz}} | ||
===Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution=== | ===Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution=== | ||
{{Box | {{Box| Titel= Übung 1: Integration von komplexeren Funktionen| Inhalt= Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen? Hierfür benötigt ihr einen Zettel und einen Stift, um die Funktion schriftlich zu integrieren. | ||
a) <math> f(x) = x \cdot sin(2x) </math> | a) <math> f(x) = x \cdot sin(2x) </math> | ||
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{{LearningApp|width:100%|height:400px|app=pa1tk2o5v20}} | Farbe= | {{LearningApp|width:100%|height:400px|app=pa1tk2o5v20}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
Version vom 22. April 2020, 12:04 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Aufgaben