Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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{{Lösung versteckt| <math>42\pi</math> {{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| <math>42\pi</math> {{Lösung versteckt| | ||
a) <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a}</math> | a) <math>V_{rot}= \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} ( \frac{7}{1+x} )^2 dx = \pi \int_{0}^{a} \frac{49}{(1+x)^2} dx = 49\pi \int_{0}^{a} (1+x)^{-2} dx = 49\pi \left[ -(1+x)^{-1} \right]_{0}^{a} = -\frac{49\pi}{1+a} + \frac{49\pi}{1} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+a}</math> | ||
b) Für das Intervall <math>[0; 6]</math> gilt dann nach Aufgabenteil a): <math>V_{rot} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>.| Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | | b) Für das Intervall <math>[0; 6]</math> gilt dann nach Aufgabenteil a): <math>V_{rot} = 49\pi - \frac{49\pi}{1+6} = 49\pi - 7\pi = 42\pi</math>.| Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt| Der Schnittpunkt von <math>h(x)</math> und <math>g(x)</math> ist <math>\frac{11}{3}</math>. Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität. | Tipp 3 | Tipp 3}} | {{Lösung versteckt| Der Schnittpunkt von <math>h(x)</math> und <math>g(x)</math> ist <math>\frac{11}{3}</math>. Setze dies nun als obere Grenze in deine Formel (siehe Tipp 2) ein und berechne die Integrale. Nutze dafür die Substitution sowie dein Wissen über Potenzregeln und Linearität. | Tipp 3 | Tipp 3}} | ||
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1. Schnittpunkt berechnen: | 1. Schnittpunkt berechnen: | ||
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<math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{\frac{11}{3}} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{\frac{11}{3}} \approx 58,26 </math> | <math>V_{rot} = \left[ \frac{(x-15)^3}{27} \right]_{0}^{\frac{11}{3}} - \left[ \frac{x^5+20x^3}{180}+x \right]_{0}^{\frac{11}{3}} \approx 58,26 </math> | ||
| Lösungsweg | |Lösungsweg anzeigen | Lösungsweg verbergen}} | Lösung anzeigen| Lösung verbergen}} | ||
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Version vom 18. April 2020, 08:44 Uhr
Einführung: Integral
Rechnen mit Integralen
Mittelwerte mithilfe des Integrals bestimmen
Aufgaben zum Berechnen von Mittelwerten
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgaben zur Mittelwertsberechnung und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Aufgaben zur partiellen Integration und Integration durch Substitution
weiterführende Aufgaben: Flächeninhalte von Integralen
Rotationskörper (Zusatz nur für LKs*)
Hier ein weiteres Beispiel einer Sinus-Funktion, das veranschaulicht, wie du dir Rotationskörper vorstellen kannst.
Aufgaben