Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Was ist ein Integral? | Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall<math> [a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a; b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Integrationsgrenze und <math>f</math> die Integrandfunktion. Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine Integralfunktion <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a; b].</math> <math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | {{Box|Was ist ein Integral? | Die Fläche unter einem Graphen kann durch den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersummenfolgen bestimmt werden. Dies nennt man das Integral von <math> f </math> über das Intervall <math>[a; b]</math> und schreibt dafür <math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>. | ||
Die Funktion <math>f</math> heißt dann über <math>[a; b]</math> integrierbar. Dabei ist <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Integrationsgrenze und <math>f</math> die Integrandfunktion. | |||
Betrachtet man die Werte von Integralen in Abhängigkeit von einer festen unteren Grenze <math> a</math> und einer variablen (anstelle einer festen) oberen Grenze <math>x</math> und verwendet deshalb <math>t</math> als Variable der Integrandfunktion <math>f</math>, so erhält man eine Integralfunktion <math> F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, x\in [a; b].</math> | |||
<math>F_a </math> ist also eine Funktion, die jedem <math>x \in [a; b]</math> das Integral von <math>f</math> über <math>[a; x]</math> zuordnet. <math>x</math> ist dabei die Funktionsvariable, in sie darf eingesetzt werden, während <math>t</math> eine gebundene Variable ist, in die nicht eingesetzt werden darf. | |||
Eine Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion zur Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>F'(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in (a; b)</math>. |}} | |||
{{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | {{Box|Partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | ||
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Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | ||
{{Box|Rotationskörper und Raumintegrale| Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math>. Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>|}} | {{Box|Rotationskörper und Raumintegrale| Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren, so entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Für seinen Rauminhalt gilt <math>V_{rot} = \pi \int_{a}^{b} ( f(x) )^2 dx</math>. | ||
Als Beispiel betrachten wird das Volumen einer Kugel mit Radius <math>r</math>, die durch die Rotation des Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \sqrt{r^2-x^2}</math> im Intervall <math>[-r; r]</math> um die <math>x</math>-Achse entsteht. Mit der Formel für den Rotationskörper erhält man nun das Volumen der Kugel: <math>V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2) dx = \left[\pi(r^2\cdot x - \frac{1}{3}x^3)\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi\cdot r^3</math>|}} | |||
==Aufgaben== | ==Aufgaben== |
Version vom 14. April 2020, 17:52 Uhr
Infoboxen
Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.
Aufgaben
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion und die leicht zu integrierende Funktion
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion und leite sie nach x ab
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das nun durch das Produkt von und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.