Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

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In diesem Kapitel kannst du die Idee und die Anwendung des Integrals wiederholen und durch gezielte Aufgaben üben und verbessern. Die Grundlage hierfür ist, dass du die Eigenschaften von Funktionen erkennst und untersuchen sowie ableiten kannst.

Du sollst hier für dich verinnerlichen, was überhaupt hinter dem Begriff des Integrals steckt und kannst darüber hinaus Grundlagen für die Anwendung mit Integralen wiederholen aber auch vertiefen.

Zum Einstieg findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels Änderungsrate und Änderungseffekt erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral bei denen es besonders auf den Zusammenhang von Differential- und Integralrechnung ankommt. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit. Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.

Aufgaben mittlerer Schwierigkeit

Aufgabe

Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals

• a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt.
• b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in $m^2$]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit $f(x)=1/4*x^2$ den Grundverlauf des Kanals darstellt.
• c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?
• d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

Eine Parabel hat die Form $f(x)=a*x^2+b*x+c$ Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. P1(-4,4),P2(0,0) und P3(4,4). Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen.

Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen.

1. Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
2. Du erstellst eine zweite Funktion $g(x)=4$, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von g-f mit den Grenzen -4 und 4.

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot

• zu a) $f(x)=(1/4)*x^2$
• zu b) $A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) = 21,33$ A: Die Querschnittsfläche des Kanals $21.33 m^2$
• zu c) $21.33*2000=42660$ A: Es befinden sich $42660 m^3$ Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
• zu d) $7.54*2000=15080$ $15080/42660 \approx 0.35349$ A: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.

Integral: Rekonstruieren von Größen

Beispiel

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [0;9] dargestellt.

Figur 1

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.

Im Intervall [0;3] beträgt der Zufluss $2\frac{l}{min}$. In diesen 3 Minuten fließen $2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l$ in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall [3;5] beträgt die mittlere Zuflussrate $1\frac{l}{min}$. In diesen 2 Minuten kommen $1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l$ dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall [5;9] ist die Durchflussrate negativ. Es fließen $1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l$ ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall [a;b] mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

A1 + A2 - A3 = 2 Flächeneinheiten

und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

Merke

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.

Aufgabe 1

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Aufgabe 2

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Aufgabe 3

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)

Figur 1

Lösung

Lösungsweg

b)

Figur 2

Lösung

Lösungsweg

c)

Figur 3

Lösung

Lösungsweg

Beachte

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

1. f(x)=1
2. f(x)=x
3. f(x)=x^2
4. f(x)=x^3 + 2x^2 + 2x - 1

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

Merke

Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x in I gilt:

F'(x) = f(x).

Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c, sodass für alle x in I gilt:

F(x) = G(x)+c

Aufgabe 4

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten.

a)

b)

Aufgabe 5

Zeichne eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).

a) b)

c)

Satz: Bestimmung von Stammfunktionen

Zur Funktion f mit $f(x)=x^r (r\neq-1)$ ist F mit $F(x)=\frac{1}{r+1}x^(r+1)$

Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68) Beispiel: Stammfunktion bestimmen

Aufgabe:

Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:

• a)
• b)

2 Textaufgaben: