Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | [[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | ||
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Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt. | Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt. | ||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | # Du berechnest das Integral von der Funktion <math>f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | ||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2). | # Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) <math>g</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2). | ||
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3). | # Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die <math>x</math>-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3). | ||
'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen. | '''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür | Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür kannst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
Version vom 12. Juni 2020, 19:38 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben