Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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==Knobelaufgaben== | ==Knobelaufgaben== | ||
{{Box|1=Aufgabe 9: Smartphone Aufgabe|2= | {{Box|1=Aufgabe 9:CO₂-Gehalt in Teichen|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts CO₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate z(t) über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. | |||
{{(!}} class=wikitable | |||
{{!-}} | |||
{{!}} Zeit t in h | |||
{{!}} 0 | |||
{{!}} 3 | |||
{{!}} 6 | |||
{{!}} 9 | |||
{{!}} 12 | |||
{{!}} 15 | |||
{{!}} 18 | |||
{{!}} 21 | |||
{{!}} 24 | |||
{{!-}} | |||
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h | |||
{{!}} 0,0 | |||
{{!}} -0,041 | |||
{{!}} -0,037 | |||
{{!}} -0,026 | |||
{{!}} -0,009 | |||
{{!}} 0,046 | |||
{{!}} 0,031 | |||
{{!}} 0,019 | |||
{{!}} 0,006 | |||
{{!)}} | |||
'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält. | |||
'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden. | |||
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Berechne die Flächen unter den Intervallen [0,3],[0,6],[0,9,[0,12],[0,15], etc... | |||
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | |||
'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er? | |||
'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation? | |||
# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math> | |||
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math> | |||
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math> | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''a)''' Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können. | |||
'''b)''' | |||
# Für t=0: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | |||
# Für t=3: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet) | |||
# Für t=6 | |||
'''c)''' Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 1,88 ME). | |||
'''d)''' | |||
# Die Fläche liegt unterhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken. | |||
# Die Fläche liegt oberhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | |||
# Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | |||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
|2=|3=}} | |||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 10: Smartphone Aufgabe|2= | |||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
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{{Box|1=Aufgabe | {{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
{{Box|1=Aufgabe | |||
{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung: | Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung: | ||
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|2=„Lösung“|3= Lösung verbergen}} | |2=„Lösung“|3= Lösung verbergen}} | ||
|2=|3=}} | |2=|3=}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
==Weitere Aufgaben== | ==Weitere Aufgaben== |
Version vom 28. April 2020, 08:59 Uhr
Herleitung des Integrals
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben