Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 8: Corona Virus| 2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung: | |||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage) | |||
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage. | |||
Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments lässt sich mit folgender Funktion beschreiben: | |||
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> | |||
Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. | |||
'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Ergebnis auf drei Kommastellen runden). | |||
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''a) ''' | |||
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | |||
<math> h(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für 0 ≤x ≤ 3 und <math> h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für 3 ≤ x≤ a. | |||
'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x>3:''' | |||
<math> h(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | |||
'''Anwendung der p/q Formel:''' | |||
<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ 10,243 | |||
<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ 1,757 < 3 | |||
'''Antwort: Nach etwa 10,243 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.''' | |||
'''b) ''' | |||
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | |||
'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:''' | |||
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | |||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> | |||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ 52,459 | |||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | |||
|2=„Lösung“|3= Lösung verbergen}} | |||
|2=|3=}} | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
==Weitere Aufgaben== | ==Weitere Aufgaben== |
Version vom 28. April 2020, 08:42 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben