Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an. | Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an. | ||
Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^ | Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>. | ||
Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_b(t)=12 \cdot (1-e^ | Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_b(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>. | ||
<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der | <math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der | ||
Läufer in Meter pro Sekunde. | Läufer in Meter pro Sekunde. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* a) <math>V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^ | * a) <math>V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math> ; <math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math> | ||
* b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)=\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^-9,8) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^-0) \approx 110,006-10 \approx 100</math> | * b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)=\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) \approx 110,006-10 \approx 100</math> | ||
* c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)=12 \cdot (9,69+e^-9,69)+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^-0)+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \approx 116,28+303,28r-12 = 100 \Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | * c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \approx 116,28+303,28r-12 = 100 \Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | ||
* d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt. | * d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt. | ||
Version vom 27. April 2020, 09:41 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben
Weitere Aufgaben
{{Box|1=Aufgabe:CO₂-Gehalt in Teichen|2= {{Lösung versteckt|1=