Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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==Rechenregeln und Stammfunktionen bilden== | ==Rechenregeln und Stammfunktionen bilden== | ||
= | {{Box|1=Stammfunktion Definition|2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung | |||
|1= | |||
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt: | |||
<math>F'(x) = f(x)</math>. | |||
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt: | |||
<math>F(x) = G(x)+c</math> | |||
|2=|3=}} | |||
|2= | |||
|3= | |||
|3=Merke|Farbe=#FF0000}} | |||
|3= | |||
| | |||
{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{ | Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=frac{1}{r+1} \cdot x^(r+1)</math> eine Stammfunktion. | ||
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^-1=frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion. | |||
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen: | |||
* <math>f(x)=g(x)+h(x) → F(x)=G(x)+H(X)</math> | |||
* <math>f(x)=c\cdot g(x) → F(x)=c\cdot G(x)</math> | |||
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) → F(x)=frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math> | |||
|2=|3=}} | |||
|2= | |||
|3= | |||
|3=Merke|Farbe=#FF0000 }} | |||
|3= | |||
| | |||
==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen== | |||
{{Box|Beispiel| | {{Box|Beispiel| | ||
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|3=Merke|Farbe=#FF0000 }} | |3=Merke|Farbe=#FF0000 }} | ||
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|Arbeitsmethode|Farbe=#FFFF00}} | |Arbeitsmethode|Farbe=#FFFF00}} | ||
==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit== | |||
{{Lösung verstecken | |||
|1={{Box|Aufgabe | |||
|Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. | |||
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | |||
* a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt. | |||
* b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)=1/4*x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | |||
* c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist? | |||
* d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Eine Parabel hat die Form <math>f(x)=a*x^2+b*x+c</math> Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. P1(-4,4),P2(0,0) und P3(4,4). Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen. | |||
|2=Tipp für a) anzeigen | |||
|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. | |||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | |||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von g-f mit den Grenzen -4 und 4. | |||
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | |||
|2=Hilfe anzeigen | |||
|3=Hilfe verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1= | |||
* zu a) <math>f(x)=(1/4)*x^2</math> | |||
* zu b) <math>A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) = 21,33</math> A: Die Querschnittsfläche des Kanals <math>21.33 m^2</math> | |||
* zu c) <math>21.33*2000=42660</math> A: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist. | |||
* zu d) <math>7.54*2000=15080</math> <math>15080/42660 \approx 0.35349</math> A: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | |||
|2=Lösung anzeigen | |||
|3=Lösung verbergen}} | |||
|Üben}} | |||
|2=Kanalaufgabe anzeigen | |||
|3=Kanalaufgabe verbergen}} | |||
Zeile 301: | Zeile 272: | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | ||
Zeile 353: | Zeile 308: | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#0000FF}} | ||
==Knobelaufgaben== | |||
{{Box|Aufgabe | |||
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: | |||
<math>f(x)=-x^3+4,5^2+34x-50</math> | |||
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | |||
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]] | |||
* a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten durch das Smartphone einspielt hat. | |||
* b) Berechne den Ertrag nach den ersten 7 Monaten. | |||
* c) Berechne den Ertrag nach den kompletten 9 Monaten. | |||
* d) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen? | |||
* e) Interpretiere die Ergebnisse aus den Aufgaben a), b), c) und überlege dir mögliche Begründungen für den erzielten Betrag. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden? | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist? | |||
|2=Hilfe anzeigen | |||
|3=Hilfe verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral. | |||
|2= Tipp zu d) | |||
|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung). | |||
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt. | |||
|2= Hinweis zu e) | |||
|3=Hinweis verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1= | |||
* zu a) <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math> | |||
* zu b) <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math> | |||
* zu c) <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math> | |||
* zu d) <math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math> | |||
* zu e) Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt. | |||
|2=Lösung anzeigen | |||
|3=Lösung verbergen}} | |||
|Üben}} | |||
Zeile 382: | Zeile 381: | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
Version vom 25. April 2020, 09:41 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Siehe auch
- Vorlage:Show-Hide (in englischer Sprache)
Knobelaufgaben