Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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==Knobelaufgaben== | ==Knobelaufgaben== | ||
{{Box|Aufgabe | |||
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: | |||
<math>f(x)=-x^3+4,5^2+34x-50</math> | |||
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | |||
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]] | |||
* a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten durch das Smartphone einspielt hat. | |||
* b) Berechne den Ertrag nach den ersten 7 Monaten. | |||
* c) Berechne den Ertrag nach den kompletten 9 Monaten. | |||
* d) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen? | |||
* e) Interpretiere die Ergebnisse aus den Aufgaben a), b), c) und überlege dir mögliche Begründungen für den erzielten Betrag. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden? | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist? | |||
|2=Hilfe anzeigen | |||
|3=Hilfe verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral. | |||
|2= Tipp zu d) | |||
|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1=Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung). | |||
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt. | |||
|2= Hinweis zu e) | |||
|3=Hinweis verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | |||
|1= | |||
* zu a) <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math> | |||
* zu b) <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math> | |||
* zu c) <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math> | |||
* zu d) <math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math> | |||
* zu e) Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt. | |||
|2=Lösung anzeigen | |||
|3=Lösung verbergen}} | |||
|Üben}} | |||
==Integral: Rekonstruieren von Größen== | ==Integral: Rekonstruieren von Größen== |
Version vom 25. April 2020, 09:18 Uhr
Herleitung des Integrals
Rechenregeln und Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben
Integral: Rekonstruieren von Größen
Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68)
Beispiel: Stammfunktion bestimmen
Aufgabe:
Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:
- a)
- b)
2 Textaufgaben: