Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | ||
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | ||
2 und 3 analog wie 1. | 2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der <math>x</math>-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | ||
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | |2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | Schaue dir den Graphen von <math>f</math>, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | ||
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
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Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | ||
Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben: | |||
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | ||
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'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | '''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | Die Funktion ist aus den Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | Berechne die Nullstelle von <math>g(x)</math>. Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | ||
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'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | '''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | ||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für | <math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für <math> 0 \leq x \leq 3 </math> und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für <math>3 \leq x \leq a </math>. | ||
'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für | '''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für <math> x \geq 3 </math>:''' | ||
<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | <math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | '''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der <math>x</math>-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für | Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
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'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | '''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | ||
|2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3= Lösung verbergen}} |
Version vom 12. Juni 2020, 20:26 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben