Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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| | |Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | ||
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{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 Minuten 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}} | {{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 Minuten 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}} | ||
| | |Arbeitsmethode|Farbe= orange }} | ||
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Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate) | Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate) | ||
|Merksatz | |Merksatz}} | ||
===Allgemeine Herleitung und Definition=== | ===Allgemeine Herleitung und Definition=== | ||
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|2=Was du erkennen kannst|3=}} | |2=Was du erkennen kannst|3=}} | ||
| | |Merksatz}} | ||
{{Box|1=Definition: Integral|2= | {{Box|1=Definition: Integral|2= | ||
Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>. | Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>. | ||
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'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8] | '''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8] | ||
|3=Merksatz | |3=Merksatz}} | ||
{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2= | {{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2= | ||
Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt: | Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt: | ||
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<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>. | <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>. | ||
|3=Merksatz | |||
|3=Merksatz}} | |||
==Stammfunktionen bilden== | ==Stammfunktionen bilden== | ||
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{{Box|1=Stammfunktion Definition|2= | {{Box|1=Stammfunktion Definition|2= | ||
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt: | Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt: | ||
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<math>F(x) = G(x)+c</math> | <math>F(x) = G(x)+c</math> | ||
|3=Merksatz}} | |||
|3=Merksatz | |||
{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2= | {{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2= | ||
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion. | Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion. | ||
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* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math> | * <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math> | ||
|3=Merksatz}} | |||
|3=Merksatz | |||
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<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math> | <math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math> | ||
|3= | |3=Merksatz}} | ||
==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen== | ==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen== | ||
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{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk| | {{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk| | ||
[[File:TideKraftwerk.jpg|thumb|Gezeitenkraftwerk in Annapolis Royal, Nova Scotia, Kanada|300px]] | [[File:TideKraftwerk.jpg|thumb|Gezeitenkraftwerk in Annapolis Royal, Nova Scotia, Kanada|300px]] | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode|Farbe= | |Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | ||
{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm| | {{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm| | ||
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren. | Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren. | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}} | |Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}} |
Version vom 12. Juni 2020, 16:21 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben