Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. | ||
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. | * Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | ||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A"> | * Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | ||
Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht. | |||
| 3=Kurzinfo}} | Viel Erfolg! | ||
|3=Kurzinfo}} | |||
==Herleitung des Integrals== | ==Herleitung des Integrals== | ||
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Die | Die Graphen in a), b) und c) zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren. | ||
a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]] | a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]] | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst. | Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der <math>x</math>-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math> | * Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>16\ FE</math> | ||
* | * Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>4\ FE</math> | ||
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math> | * Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math> | ||
* | * Die Murmel hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Auf dem Intervall <math> [4, 7] </math> | Auf dem Intervall <math> [4, 7] </math> kannst du die Fläche zwischen <math>x</math>-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math> | * Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>20\ FE</math> | ||
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math> | * Flächer unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>0\ FE</math> | ||
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math> | * Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math> | ||
* | * Die Murmel hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 273: | Zeile 272: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49{,}5\ FE</math> | * Fläche oberhalb der <math>x</math>-Achse: <math>49{,}5\ FE</math> | ||
* | * Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse: <math>5\ FE</math> | ||
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44{,}5\ FE</math> | * Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44{,}5\ FE</math> | ||
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt. | * Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt. | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode|Farbe= | |Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | ||
{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2= | {{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2= | ||
Betrachte | Betrachte das untenstehende Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden. | ||
Hinweis: Exponenten kannst du mit ^ eingeben. | |||
# <math>f(x)=1</math> | # <math>f(x)=1</math> | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Dir | Dir kann Folgendes auffallen: | ||
* <math> F'(x)=f(x) </math> | * <math> F'(x)=f(x) </math> | ||
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. | * Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel, um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. | ||
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math> | * Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>. | ||
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv. | * Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist, so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv. | ||
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> | * <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 315: | Zeile 316: | ||
{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen| | {{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen| | ||
Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> | Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an. | ||
Du kannst den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen besser erkennen kannst. | |||
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist. | Mache dir klar, wie die Funktion <math>f</math> und eine zugehörige Stammfunktion <math>F</math> zueinander stehen. Was bedeutet es, dass <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist. | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | Was gilt für die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>, wenn <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an. | <math>f(x)</math> ist die Ableitung von <math>F(x)</math>. Somit gibt die Funktion <math>f</math> die Steigung der Stammfunktion <math>F</math> an. | ||
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | ||
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> eine Nullstelle. | ||
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | |Arbeitsmethode|Farbe= orange}} | ||
Zeile 343: | Zeile 346: | ||
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | [[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | ||
'''a)''' | '''a)''' | ||
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt. | Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt. | ||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | # Du berechnest das Integral von der Funktion <math>f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | ||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2). | # Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) <math>g</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2). | ||
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3). | # Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die <math>x</math>-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3). | ||
'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen. | '''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen. | ||
Zeile 393: | Zeile 396: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür | Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür kannst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
Zeile 408: | Zeile 411: | ||
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | ||
[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]] | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, | Um eine Stammfunktion <math>F</math> zu einer Funktion <math>f</math> zu skizzieren, überlege, wie die Funktion <math>f</math> und eine zugehörige Stammfunktion <math>F</math> zueinander stehen. Was bedeutet es, dass <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist? | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | Was gilt für die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>, wenn <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | ||
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion. | Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion. | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an. | <math>f(x)</math> ist die Ableitung von <math>F(x)</math>. Somit gibt die Funktion <math>f</math> die Steigung der Stammfunktion <math>F</math> an. | ||
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}} | |2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | ||
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}} | |2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat <math>f</math> an der Stelle a eine Nullstelle. | ||
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}} | |2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 447: | Zeile 451: | ||
In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar. | In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar. | ||
{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an. | Eine Stammfunktion <math>F</math> einer entsprechenden Funktion <math>f</math> erhält man, indem man die Funktion <math>f</math> integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion <math>F</math> und ihr entsprechenden Funktion <math>f</math> verdeutlicht, an. | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Solltest du beim | Solltest du beim Bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades. | ||
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]] | [[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]] | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
Zeile 482: | Zeile 486: | ||
<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math> | <math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math> | ||
Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in | Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundert angibt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 498: | Zeile 502: | ||
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math> | <math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7 </math> | ||
<math>28{,}7 \cdot 100= | <math>28{,}7 \cdot 100=2870 </math> | ||
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. | Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 2870 Bakterien. | ||
<math>g(6) = 38 </math> | <math>g(6) = 38 </math> | ||
<math>38 \cdot 100= | <math>38 \cdot 100=3800</math> | ||
Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. | Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 3800 Bakterien. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 516: | Zeile 520: | ||
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | {{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2= | ||
Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben | Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.) | ||
Zeile 589: | Zeile 593: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | # Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | ||
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0 | # Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0,3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt <math>(3,-0{,}041)</math> und damit <math>-0{,}041</math>. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME</math> ≈ <math>2{,}54 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | # Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0, 6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0, 3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3, 6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2{,}42 ME</math> (aufgerundet). | ||
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | # Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren. | ||
Zeile 624: | Zeile 628: | ||
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 | Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME). | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
Zeile 639: | Zeile 643: | ||
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | |2= Tipp| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der <math>x</math>-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | ||
# Das Integral beschreibt die | # Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | ||
[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | [[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]] | ||
Zeile 669: | Zeile 673: | ||
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25</math> | ||
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | # <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25</math> | ||
2 und 3 analog wie 1. | 2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Zeile 687: | Zeile 691: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der <math>x</math>-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt. | ||
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | |2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | Schaue dir den Graphen von <math>f</math>, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat. | ||
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
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Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | ||
Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben: | |||
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | ||
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'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | '''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | Die Funktion ist aus den Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0, 3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | Berechne die Nullstelle von <math>g(x)</math>. Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | ||
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'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | '''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | ||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für | <math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für <math> 0 \leq x \leq 3 </math> und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für <math>3 \leq x \leq a </math>. | ||
'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für | '''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für <math> x \geq 3 </math>:''' | ||
<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | <math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | '''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der <math>x</math>-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für | Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1. | ||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | <math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | ||
'''Wir | '''Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:''' | ||
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | <math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | ||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2} | <math>\begin{align} | ||
\int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x \Big]_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}}\\ | |||
&= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3) \Big]\\ | |||
&= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}\\ | |||
&= \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} | |||
\end{align}</math> | |||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} = 27 + 18 \cdot \sqrt{2} \approx 52{,}456</math> | |||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | '''Antwort: Der Wirkungsfaktor <math>W(x)</math> beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | ||
|2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
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Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100 </math> | ||
<math>\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt = V_R(9{,}69)-V_b(0) </math> | <math> \begin{align} \int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt &= V_R(9{,}69)-V_b(0) \\ | ||
&=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \\ | |||
&\approx 116{,}28+303{,}28r-12 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Setze nun diesen Term gleich 100: | |||
<math>\ | <math> \begin{align} 116{,}28+303{,}28r-12 &= 100 \\ | ||
\Leftrightarrow r &\approx -0{,}0141 | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Aktuelle Version vom 13. Juni 2020, 10:03 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben