Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5, 5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen. | ||
[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]] | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, | Um eine Stammfunktion <math>F</math> zu einer Funktion <math>f</math> zu skizzieren, überlege, wie die Funktion <math>f</math> und eine zugehörige Stammfunktion <math>F</math> zueinander stehen. Was bedeutet es, dass <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist? | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | Was gilt für die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>, wenn <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt? | ||
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion. | Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion. | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an. | <math>f(x)</math> ist die Ableitung von <math>F(x)</math>. Somit gibt die Funktion <math>f</math> die Steigung der Stammfunktion <math>F</math> an. | ||
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}} | |2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum. | ||
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}} | |2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle. | Hat <math>F</math> an der Stelle <math>a</math> ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat <math>f</math> an der Stelle a eine Nullstelle. | ||
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}} | |2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an. | Eine Stammfunktion <math>F</math> einer entsprechenden Funktion <math>f</math> erhält man, indem man die Funktion <math>f</math> integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion <math>F</math> und ihr entsprechenden Funktion <math>f</math> verdeutlicht, an. | ||
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Solltest du beim | Solltest du beim Bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades. | ||
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]] | [[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]] | ||
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} | |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}} |
Version vom 12. Juni 2020, 19:44 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Grundlegende Kompetenzen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben