Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 667: | Zeile 667: | ||
{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2= | {{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2= | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]] | |||
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!''' | |||
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung: | |||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage) | |||
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage. | |||
Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben: | |||
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math> | |||
'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll). | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind) | |||
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen. | |||
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:''' | |||
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''. | |||
'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:''' | |||
<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math> | |||
'''Anwendung der p/q Formel:''' | |||
<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math> | |||
<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math> | |||
'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.''' | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1. | |||
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math> | |||
'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:''' | |||
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math> | |||
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> | |||
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math> | |||
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.''' | |||
|2=Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
|2=|3=}} | |||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 747: | Zeile 819: | ||
|2=|3=}} | |2=|3=}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} |
Version vom 26. Mai 2020, 11:33 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben