Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten. | |||
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''. | In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''. | ||
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==Herleitung des Integrals== | ==Herleitung des Integrals== | ||
=== Konstante und lineare Funktionen === | ===Konstante und lineare Funktionen=== | ||
{{Box|Beispiel 1: Jogger| | {{Box|Beispiel 1: Jogger| | ||
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen. Probiere das in der Darstellung aus indem du die obere Grenze b verschiebst und versuche den Zusammenhang zum Integral zu erkennen. | Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen. Probiere das in der Darstellung aus indem du die obere Grenze b verschiebst und versuche den Zusammenhang zum Integral zu erkennen. | ||
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=== Allgemeine Herleitung und Definition === | ===Allgemeine Herleitung und Definition=== | ||
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen| | {{Box|Idee für ganzrationale Funktionen| | ||
Version vom 20. Mai 2020, 11:23 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben