Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Bei einem Sprint über 100m treten | Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>. | ||
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>. | |||
<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit | <math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit | ||
von Lars und René in Meter pro Sekunde. | |||
'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt. | '''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> | <math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math> | ||
<math> | <math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''b)''' Zeige, dass | '''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math>\int_{0}^{9,8} | <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math> | ||
<math> \Leftrightarrow | <math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math> | ||
<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math> | <math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass | '''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math>\int_{0}^{9,69} | <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> | ||
<math>\Leftrightarrow | <math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math> | ||
<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math> | <math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math> | ||
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|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
'''d)''' Wie viel Meter sind die | '''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht? | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> \int_{0}^{5} | <math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math> | ||
Antwort: | Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
Version vom 19. Mai 2020, 14:17 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben