Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. | |2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. | ||
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | [[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | ||
'''a)''' | |||
Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | |||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt|1= | ||
|1= | Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. | ||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | # Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | ||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen -4 und 4, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math>. | # Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen -4 und 4, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math>. | ||
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | [[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | ||
|2= | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
|3= | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math> | |||
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21,33</math> | |||
Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21.33 m^2</math>. | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
'''b)''' | |||
Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math>21.33 \cdot 2000 = 42660</math> | |||
Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist. | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
'''c) Schwer''' | |||
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math>7.54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0.35349</math> | |||
|2=Lösung | Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | ||
|3=Lösung verbergen}} | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | ||
|2=Ausklappen | |2=Ausklappen|3=Einklappen}} | ||
|3=Einklappen}} | |||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}} | ||
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Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. | Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. | ||
'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt? | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
''' | '''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden? | ||
[[Datei:Aufgabe 6.png|mini|600px|center|Figur 1]] | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math> | |||
<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math> | <math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math> |
Version vom 10. Mai 2020, 15:45 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben