Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 383: | Zeile 383: | ||
'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält. | '''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''a)''' Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können. | |||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. | '''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. | ||
Zeile 393: | Zeile 398: | ||
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3],[0,6],[0,9],[0,12],[0,15]</math>, etc... | Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3],[0,6],[0,9],[0,12],[0,15]</math>, etc... | ||
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | |2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
'''b)''' | '''b)''' | ||
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | # Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe). | ||
Zeile 436: | Zeile 430: | ||
{{!}} 2,57 | {{!}} 2,57 | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''c)''' Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME). | '''c)''' Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME). | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation? | |||
# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math> | |||
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math> | |||
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math> | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''d)''' | '''d)''' | ||
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken. | # Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken. | ||
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | # Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen. | ||
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | # Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde. | ||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |||
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | |2= Lösung|3= Lösung verbergen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
Zeile 457: | Zeile 463: | ||
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€). | ||
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]] | [[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]] | ||
a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat. | |||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt|1= | ||
|1=Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist? | Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist? | ||
|2= | |2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | ||
|3= | |||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt|1= | ||
|1= | |||
'''a)''' | '''a)''' | ||
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math> | # <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math> | ||
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math> | # <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math> | ||
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math> | # <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
b) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral. | |||
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''b)''' <math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math> | '''b)''' <math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
c) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung). | |||
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt. | |||
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
'''c)''' Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt. | '''c)''' Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt. | ||
|2=Lösung anzeigen | |2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
|3=Lösung verbergen}} | |||
|2=Ausklappen | |2=Ausklappen | ||
|3=Einklappen}} | |3=Einklappen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}} | ||
Zeile 510: | Zeile 514: | ||
<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der | <math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der | ||
Läufer in Meter pro Sekunde. | Läufer in Meter pro Sekunde. | ||
a) Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt. | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
a) <math>V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math> | a) <math>V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math> | ||
<math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math> | <math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 </math> | b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 </math> | ||
Zeile 526: | Zeile 531: | ||
<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math> | <math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
c) Bestimme den Wert von r so, dass der Läufer B nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 </math> | c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 </math> | ||
Zeile 538: | Zeile 545: | ||
<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | <math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> | d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> | ||
Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt. | Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt. | ||
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | |||
|2=Lösung | |||
|2=|3=}} | |2=|3=}} |
Version vom 10. Mai 2020, 11:41 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben