Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | [[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]] | ||
* a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt. | * a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt. | ||
* b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)=1/4 | * b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)=1/4 \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt. | ||
* c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist? | * c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist? | ||
* d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | * d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist? | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
|1=Eine Parabel hat die Form <math>f(x)=a | |1=Eine Parabel hat die Form <math>f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c</math> Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. <math>P1(-4,4)</math>,<math>P2(0,0)</math> und <math>P3(4,4)</math>. Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen. | ||
|2=Tipp für a) anzeigen | |2=Tipp für a) anzeigen | ||
|3=Tipp verbergen}} | |3=Tipp verbergen}} | ||
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|1=Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. | |1=Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. | ||
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | # Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks. | ||
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von g-f mit den Grenzen -4 und 4, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math>. | # Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen -4 und 4, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math>. | ||
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | [[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]] | ||
|2=Hilfe anzeigen | |2=Hilfe anzeigen | ||
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{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
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* zu a) <math>f(x)=(1/4) | * zu a) <math>f(x)=(1/4) \cdot x^2</math> | ||
* zu b) <math>A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) dx = 21,33</math> A: Die Querschnittsfläche des Kanals <math>21.33 m^2</math> | * zu b) <math>A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) dx = 21,33</math> A: Die Querschnittsfläche des Kanals <math>21.33 m^2</math> | ||
* zu c) <math>21.33 | * zu c) <math>21.33 \cdot 2000 = 42660</math> A: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist. | ||
* zu d) <math>7.54 | * zu d) <math>7.54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0.35349</math> , Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal. | ||
|2=Lösung anzeigen | |2=Lösung anzeigen | ||
|3=Lösung verbergen}} | |3=Lösung verbergen}} |
Version vom 10. Mai 2020, 09:36 Uhr
Herleitung des Integrals
Konstante und lineare Funktionen
Allgemeine Herleitung und Definition
Stammfunktionen bilden
Gelerntes Wiederholen und Vertiefen
Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
Knobelaufgaben