Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt: Unterschied zwischen den Versionen
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== Knobelaufgaben == | == Knobelaufgaben == | ||
==Integral: Rekonstruieren von Größen== | |||
{{Box|Beispiel| | |||
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [0;9] dargestellt. | |||
[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]] | |||
Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank? | |||
{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt| | |||
1=Im Intervall [0;3] beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math>2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall [3;5] beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall [5;9] ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall [a;b] mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank: | |||
A1 + A2 - A3 = 2 Flächeneinheiten | |||
und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank. | |||
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungweg verbergen}} | |||
|Merke|Farbe= #FF4500 }} | |||
{{Box|Merke|Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.|Merke|Farbe= #9B30FF}} | |||
{{Box|Aufgabe 1| | |||
Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten. | |||
{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}} | |||
|Arbeitsmethode|Farbe=}} | |||
{{Box|Aufgabe 2| | |||
Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten. | |||
{{LearningApp|app=3978880|width=100%|height=400px}} | |||
|Arbeitsmethode|Farbe=}} | |||
{{Box|Aufgabe 3| | |||
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren. | |||
a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]] | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösung|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösungsweg|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungweg verbergen}} | |||
b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]] | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösung|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösungsweg|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungweg verbergen}} | |||
c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]] | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösung|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Lösungsweg|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungweg verbergen}} | |||
|Arbeitsmethode|Farbe=#FFFF00}} | |||
{{Box|1=Beachte|2= | |||
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden. | |||
# f(x)=1 | |||
# f(x)=x | |||
# f(x)=x^2 | |||
# f(x)=x^3 + 2x^2 + 2x - 1 | |||
<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet> | |||
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte? | |||
|3=Merke|Farbe=#FFFF00}} | |||
{{Box|1=Merke|2= | |||
Eine Funktion F heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x in I gilt: | |||
'''F'(x) = f(x)'''. | |||
Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c, sodass für alle x in I gilt: | |||
F(x) = G(x)+c | |||
|Farbe=}} | |||
{{Box|Aufgabe 4| | |||
Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten. | |||
a) {{LearningApp|app=3978812|width=100%|height=400px}} | |||
b) {{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}} | |||
|Arbeitsmethode|Farbe=#FFFF00}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 5|2= | |||
Zeichne eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.). | |||
a) | |||
b) | |||
c) | |||
|3=Arbeitsmethode|Farbe=}} | |||
{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2= | |||
Zur Funktion f mit <math>f(x)=x^r (r\neq-1)</math> ist F mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1}x^(r+1)</math> | |||
|3=Merke|Farbe=}} | |||
Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68) | |||
Beispiel: Stammfunktion bestimmen | |||
Aufgabe: | |||
{{LearningApp|app=1141792|width=100%|height=400px}} | |||
{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}} | |||
Aufgabe: | |||
Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen: | |||
2 Textaufgaben: |
Version vom 21. April 2020, 07:23 Uhr
Herleitung des Integrals
Einführungsaufgaben
Grundlagenaufgaben
Knobelaufgaben
Integral: Rekonstruieren von Größen
Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68)
Beispiel: Stammfunktion bestimmen
Aufgabe:
Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:
2 Textaufgaben: