Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box |1=Info  |2=
{{Box |1=Info  |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.
In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.
Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.
   
   
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.  
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.  
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A">grüner</span>'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.  
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.  


Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.
                             
Viel Erfolg!
Viel Erfolg!
 
|3=Kurzinfo}}
 
|3=Kurzinfo}}  
 


==Einführung: Optimierungsprobleme==
==Einführung: Optimierungsprobleme==
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Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.
Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.


|Merke
| Merksatz
}}
}}


{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |
{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|




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'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?  
'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?  


'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|2= Tipps
|1=
|1=


Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.  
{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=
 
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.


[[Datei:Skizze .png|mini]]
[[Datei:Skizze .png|mini]]


Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
 
Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.  
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=
 
Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.
 
 
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}
 
{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=
 
Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.


Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=


Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>
 
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}
 
{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=
 
Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>


Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:
Zeile 70: Zeile 89:
# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>  
# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>  
# <math> A''(b) = - \pi</math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>
Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=


Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.


Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
|3= Lösung verbergen}}
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
|3= Tipp 4 verbergen}}
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
 
|3= Rechenweg verbergen
{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=
 
Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
 
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>  
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66</math>m und eine Höhe von <math>100</math>m maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}
 
|3= Tipps verbergen
}}
}}
{{Lösung versteckt |2=Lösung |1=
Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math> und der Umfang lässt sich durch <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math> berechnen. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
Setze nun deine Formel für <math> a </math> in die Flächeninhaltsformel ein. So erhälst du deine Zielfunktion.
Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>.
Gesucht ist nun das '''Maximum'''. Um dieses zu bestimmen, bilde zunächst die Ableitung.
# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>
Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.
Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.
Berechne nun <math> a </math>, indem <math> b=\frac{200}{pi} </math> in <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math> eingesetzt wird.
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66</math>m und eine Höhe von <math>100</math>m maximal.
|3= Lösung verbergen}}
'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|2= Tipp
|1=
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.


'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:
|3= Tipp verbergen
}}
}}


{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 </math>m maximiert.
|3= Lösung verbergen}}


| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}




Zeile 95: Zeile 160:
|
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Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200</math>cm sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein.  [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein.  [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.


{{Lösung versteckt | 1=
{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.  
Multipliziere Höhe, Breite und Länge, also <math>a \cdot a \cdot b</math>, um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.  
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}


Zeile 108: Zeile 171:
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.


Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.  
Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4 \cdot a</math> rechnest.  
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}


Zeile 114: Zeile 177:
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.  
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.  
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math>  und
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4 \cdot a</math>  und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4 \cdot a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
{{Lösung versteckt | 1=
Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a) ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem du Höhe mal Breite mal Länge rechnest. | 2= Tipp zur Errechnung des Volumens | 3= Tipp verbergen }}


{{Lösung versteckt | 1=
{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:  
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abhängig ist:  
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.
<math>V(a,b) = a \cdot a \cdot b = a^2 \cdot b</math>.


'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.  
'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.  
<math> b + 4*a = 360</math>.  
<math> b + 4 \cdot a = 360</math>.  
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
<math>b = 360 - 4 \cdot a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann nur noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4 \cdot a^3 + 360 a^2</math>.


'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.  
'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.  
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.  
<math>360 - 4 \cdot a \geq 0</math>.  
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200</math>cm sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.  
<math>360 - 4 \cdot a \leq 200</math>.  
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.  
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.  
Zeile 145: Zeile 215:
Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.
Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.


<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden.)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>


Zeile 153: Zeile 223:
Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.
Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.


Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Breite und Höhe sind also <math>60</math>cm.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4 \cdot a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.
<math> b = 120</math>cm.


'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 \cdot 60 \cdot 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000</math>cm³.


|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}
|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}


| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}  }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}  }}
Zeile 168: Zeile 239:
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.  
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10</math>cm eine Pommestüte formen.  


Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.  
Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.  
Zeile 174: Zeile 245:
Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]  
Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]  


{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10</math>cm der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung.  | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung.  | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}


Zeile 181: Zeile 252:
|1=  
|1=  


Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in die möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.


Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.
Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollt Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.


Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.  
Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.  
Zeile 195: Zeile 266:


Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403</math>cm³.


| 2= Lösung
| 2= Lösung
Zeile 213: Zeile 284:
}}
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
Um diese Aufgabe vollständig zu sehen, aktiviere den Vollbildmodus rechts oben.
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}  
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}  
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Zeile 219: Zeile 291:
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |


Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?
Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.
Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.


Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]


{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|
1=
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x \cdot y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x \cdot y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}




Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.
{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x \cdot y</math>.


Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.
Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.


Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.  
Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11{,}5x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.  
            
            
Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.  
Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.  
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Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}
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In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.  
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.  


In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}
In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.| Merksatz}}


{{Box
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|Aufgabe 6: __ &#x2B50;
|Aufgabe 6: Extrema bei Funktionenscharen &#x2B50;
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|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.
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Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:
Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>
<math>f(2)=2^2-4 \cdot 2-t^2-2t</math>


<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>
<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>
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Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:
Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>
<math>f(2)=2^2-4 \cdot 2-t^2-2t</math>


<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>
<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

Aktuelle Version vom 12. Juni 2020, 22:47 Uhr

Info

In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!

Einführung: Optimierungsprobleme

Was sind Optimierungsprobleme?

Optimierungsprobleme , oder auch Extremwertprobleme, beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein Extremwert, also ein Maximum oder ein Minimum.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.

Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen

So löst du Optimierungsprobleme

Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine optimale Verpackung für Reis oder die optimale Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein Näherungswert. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun optimiert, also maximiert oder minimiert werden?

Der optimale Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.


Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld


Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

a) Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?


Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt berechnet wird.

Skizze .png
Die Formel zum Flächeninhalt ist .

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um.


Du erhältst: .

Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

Deine Zielfunktion ist:

Für die Zielfunktion kann nur zwischen und liegen, also

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann .

Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.

Berechne nun .

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von m und eine Höhe von m maximal.

Die Formel zum Flächeninhalt ist und der Umfang lässt sich durch berechnen. Stelle die Formel für den Umfang nun nach um.

Du erhältst: .

Setze nun deine Formel für in die Flächeninhaltsformel ein. So erhälst du deine Zielfunktion. Deine Zielfunktion ist:

Für die Zielfunktion kann nur zwischen und liegen, also .

Gesucht ist nun das Maximum. Um dieses zu bestimmen, bilde zunächst die Ableitung.

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung. Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.

Berechne nun , indem in eingesetzt wird.

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von m und eine Höhe von m maximal.

b) Wie groß ist das Fußballfeld?

Berechne nun durch Einsetzen von und den Flächeninhalt :

Der Flächeninhalt wird also auf m maximiert.


Aufgabe 2: Das optimale Paket

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen () her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:

  • Die Länge () soll nicht größer als cm sein.
  • Länge () plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll cm groß sein.
    300

a) Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

Multipliziere Höhe, Breite und Länge, also , um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.

Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach um.

Zweite Bedingung: Länge () plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du rechnest.

Die Definitionsmenge für die Zielfunktion ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (). Die Länge muss zum einen größer gleich und zum anderen kleiner gleich sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst. und

.


b) Gebe das maximale Volumen an.

Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a) ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem du Höhe mal Breite mal Länge rechnest.


Zielfunktion aufstellen: Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen und abhängig ist: .

Nebenbedingung aufstellen: Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen. . Die Gleichung stellen wir nach um und erhalten: . Nun können wir in die Zielfunktion einsetzen, welche dann nur noch von der Variable abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion und erhalten .

Definitionsmenge angeben: Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge () anschauen. Offensichtlich muss die Länge größer gleich sein. Es gilt also: . Durch das Umstellen nach folgt:. Außerdem muss die Länger kleiner gleich cm sein. Es gilt also: . Durch das Umstellen nach folgt: . Insgesamt ergibt das also .

Nun sollen die Extremstellen von bestimmt werden.

.

Notw. Bedingung: .

(Klammere das aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden.)

oder . Da muss gelten, also .

Durch das Einsetzen von in folgt, dass an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also cm. Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von in . cm.

Das Volumen bestimmen: Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir berechnen.

Das maximale Volumen beträgt also cm³.



Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius cm eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte?
Gerader Kreiskegel.svg
Beachte, dass der Radius des Stücks Papier cm der Mantellinie des Kegels entspricht.
Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel .
Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung.

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in die möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist das Volumen . Rollt Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist .

Gegeben ist die Mantellinie mit der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen (Radius) und (Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich . Stelle diese Gleichung nun nach um und erhalte .

Setze diesen Ausdruck nun für in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion: .

Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also .

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet .

Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. cm³.




Globales Extremum und Randextremum

Merke

Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Maximum. Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Minimum.

Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt Randextremum.
Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen

Um diese Aufgabe vollständig zu sehen, aktiviere den Vollbildmodus rechts oben.


Aufgabe 5: Randextrema beachten


Gegeben ist der Graph einer Funktion mit im Intervall . Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von liegt. Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

GeoGebra
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch an. Es gilt also

Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion . Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle bestimmt.

Die Nebenbedingung wird in für eingesetzt.


Mit in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion .

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion . Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion ein, so erhalten wir . Die Funktion heißt nun , da sie nur noch von der Unbekannte abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir in die Ausgangsfunktion ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt .

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

und .

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle .


Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann cm².

Optimierungsprobleme & Funktionenscharen

Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar

In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable abhängt, sondern außerdem von einem Parameter .

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.


Aufgabe 6: Extrema bei Funktionenscharen ⭐

Gegeben ist die Funktionenschar .

Für welchen Wert von liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?


Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von .

Ableiten der Funktion ergibt:


Für ein Minimum muss gelten: und .


Minimum

Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:

.
Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion , wobei den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.
Prüfe die hinreichende Bedingung: und .


Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von :

Ableiten der Funktion ergibt:


Für ein Minimum muss gelten: und .


Minimum

Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:

.


Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion .

Bilde zunächst wieder die Ableitungen und :

Bei einem Maximum muss gelten: und .


Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für maximal.