Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 91: | Zeile 91: | ||
{{Box | {{Box | ||
| | | Aufgabe 2: Der optimale Karton | ||
| | | | ||
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein: | |||
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein: | * Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein. | ||
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein. | * Länge (<math>b</math>) plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]] | ||
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]] | |||
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen. | '''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen. | ||
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | '''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | ||
{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}} | ||
{{ | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
| | |||
Version vom 18. Mai 2020, 08:44 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:
Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.
Berechne nun und den Flächeninhalt:
- und
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen