Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen | {{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt | 1= | {{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
|1= | |1= | ||
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte. | |||
Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>. | |||
Gegeben | Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>. | ||
Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion: | Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion: | ||
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Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>. | Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>. | ||
Das maximale | Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math> | ||
| 2= Lösung | | 2= Lösung | ||
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| Arbeitsmethode | |||
| Arbeitsmethode }} | |||
==Globales Extremum und Randextremum== | ==Globales Extremum und Randextremum== |
Version vom 17. Mai 2020, 18:10 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:
Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.
Berechne nun und den Flächeninhalt:
- und
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen