Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 133: | Zeile 133: | ||
{{Box | {{Box | ||
| | |Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte | ||
| | | | ||
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen. | |||
Was ist das maximale | |||
Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen. | |||
Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] | |||
{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge <math>s</math> ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge <math>s</math> ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}} | ||
Zeile 164: | Zeile 169: | ||
}} | }} | ||
|Farbe= {{Farbe| | | Arbeitsmethode | ||
| Farbe={{Farbe|blue}} }} | |||
}} | |||
==Globales Extremum und Randextremum== | ==Globales Extremum und Randextremum== |
Version vom 17. Mai 2020, 17:43 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:
Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.
Berechne nun und den Flächeninhalt:
- und
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen