Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen
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Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. | Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. | ||
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'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal? | '''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal? | ||
'''b)''' Wie groß ist das | '''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld? | ||
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Version vom 16. Mai 2020, 15:19 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen
Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.
Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:
Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:
Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also
Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:
Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.
Berechne nun und den Flächeninhalt:
- und
a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.
b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.|Farbe= #F19D50 |Icon= }}
Globales Extremum und Randextremum
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen