Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme: Unterschied zwischen den Versionen

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'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.  
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.  
 
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1=  
*Mit <math>x</math>, <math>y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V=x^2*y</math>.
*Nebenbedinung: <math>4x+y=360</math>, also <math>y=360-4x</math>.
*Einsetzen der Nebenbedingung ergibt:
<math>V(x)=x^2*(360-4x)=-4x^3+360x^2</math>.
*Die Definitionsmenge ergibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:
**<math>y=0</math> gilt<math> 4x=360</math>, also <math>x<90</math>.
**<math>y=200</math> gilt<math> 4x+200=360</math>, also <math> x\geq 40</math>.
Es gilt: <math> 40 \leq x < 90</math>.
*<math>V'(x)=-12x^2+720x=(-12x+720)x=0 </math>
**also: <math>x=0</math> und <math> x=60</math>.
*Wegen <math> x \geq 40</math> kommt nur <math>x=60</math> als Lösung infrage.
<math>V(x)</math> hat bei <math>x=60</math> ein Maximum.
 
*Das größte Volumen erhält man bei den Paketmaßen
Länge<math>*</math>Breite<math>*</math>Höhe: <math>120cm * 60cm * 60cm</math>.  
| 2= Rechenweg zu a) | 3= Rechenweg verbergen}}
 
{{Lösung versteckt | 1 =
Das größte Volumen erhält man bei den Paketmaßen
Länge<math>*</math>Breite<math>*</math>Höhe: <math>120cm * 60cm * 60cm</math>.
| 2=Lösung zu a)
| 3=Lösung verbergen}}
 
 
{{Lösung versteckt | 1=
Das Volumen beträgt dann <math>432000cm^3 = 0,432 m^3</math>.
| 2=Lösung zu b) | 3=Lösung verbergen}}
 
 
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}     
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}     
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|Titel= <span style="color: {{Farbe|links}}">Aufgabe 3</span>
|Titel= <span style="color: {{Farbe|links}}">Aufgabe 3</span>
|Inhalt=
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
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Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>


| 2= Lösung
| 2= Lösung

Version vom 30. April 2020, 06:13 Uhr

Allgemeine Hinweise

Info

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu Optimierungsproblemen testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit orangem Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen blauen Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit grünem Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.


Viel Erfolg!

Einführung: Optimierungsprobleme

Was sind Optimierungsprobleme?

Optimierungsprobleme , oder auch Extremwertprobleme, beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein Extremwert, also ein Maximum oder ein Minimum.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.

Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen

So löst du Optimierungsprobleme

Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine optimale Verpackung für Reis oder die optimale Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein Näherungswert. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun optimiert, also maximiert oder minimiert werden?

Der optimale Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.


Beispiel: Aufgabe 1

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist. Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

a) Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

b) Wie groß ist das Fussballfeld?

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt innerhalb des Sportplatzes.

Skizze .png

Die Formel zum Flächeninhalt ist . Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: . Stelle die Formel für den Umfang nun nach um und erhalte:

Setze nun deine Formel für in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das Maximum. Bilde dazu die Ableitungen:

Mit der notwendigen Bedingung erhälst du dann . Mit der hinreichenden Bedingung folgt , somit erfüllt alle Bedingungen.

Berechne nun und den Flächeninhalt:

  1. und

a) Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von und eine Höhe von maximal.

b) Der Flächeninhalt wird auf maximiert.


Aufgabe 2

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:

  • Die Länge soll nicht größer als sein.
  • Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll groß sein.

a) Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

b) Gebe das maximale Volumen an.


Aufgabe 3

Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.

Was ist das maximale Kegelvolumen?
Gerader Kreiskegel.svg
Beachte, dass der Radius des Stücks Papier der Mantellinie des Kegels entspricht.
Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel .
Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also und , so erhält man kein Volumen, also . Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also . Es muss also ein Volumen zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie des Kegels, der Radius und die Höhe . Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich . Stelle diese Gleichung nun nach um und erhalte .

Setze diesen Ausdruck nun für in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion: .

Für diese Funktion kann nur zwischen und liegen, also .

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.

  • Die Ableitungsfunktion lautet .
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca.

Globales Extremum und Randextremum

Merke

Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Maximum. Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt globales Minimum.

Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt Randextremum.
Übung



Aufgabe 4

Gegeben ist der Graph einer Funktion mit im Intervall . Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.

Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe Ranextrema beachten.png


Optimierungsprobleme & Funktionenscharen

Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar

In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.


Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktionenschar .

Für welchen Wert von liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?


Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

Ableiten der Funktion ergibt:


Für ein Minimum muss gelten: und .


Minimum

Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:

.
Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion .
Prüfe die hinreichende Bedingung: und .


Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:


Für ein Minimum muss gelten: und .


Minimum

Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:


Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:

.


Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion .

Bilde zunächst wieder die Ableitungen und :

Bei einem Maximum muss gelten: und .


Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für maximal.