Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box| Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen |
{{Box| Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen |
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen <math>\pm\infty</math> geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math> aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem '''größten Exponenten''' von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden:
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von <math>x</math> aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem '''größten Exponenten''' von <math>x</math> anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich <math>f</math> und <math>g</math> gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von <math>g</math> untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden:
[[Datei:Tabelle Verhalten im Unendlichen.png|center]]
| Merksatz}}
| Merksatz}}


{| class="wikitable center"
!<math>n</math> gerade
!<math>n</math> ungerade
|-
|<math>n</math> gerade und <math>a_n>0</math>:


<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts oben",
{{Box| Merke: Verhalten nahe Null |
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für betragsmäßig kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem '''absoluten Glied''' <math>a_0</math> und dem Summanden mit dem '''kleinsten Exponenten''' von <math>x</math>, die im Funktionsterm auftaucht.
Wenn du dir unsicher bist, welche Summanden das genau sind, schau am besten einmal genau in das folgende Beispiel.
| Merksatz}}


<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
{{Box| Beispiel|
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n>0</math>:
Betrachte die Funktion <math>f(x)=5x^2-3x+4</math>.


<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts oben",
<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>, also geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>x\rightarrow \infty</math>, da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=5>0</math>.


<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f</math> verhält sich nahe Null wie <math>h(x)=-3x+4</math>, also eine fallende Gerade mit Steigung -3 und y-Achsenabschnitt 4.
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|-
|<math>n</math> gerade und <math>a_n<0</math>:


<math>f</math> verläuft "von links unten nach rechts unten",
Falls du ein weiteres Beispiel sehen möchtest, klappe es auf:
{{Lösung versteckt|1=
Betrachte nun die Funktion <math>f_2(x)=x^5+4x^2-7</math>.


<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
<math>f_2</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g_2(x)=x^5</math>, also geht <math>f_2(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f_2(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math> , da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math>.
|<math>n</math> ungerade und <math>a_n<0</math>:


<math>f</math> verläuft "von links oben nach rechts unten",
<math>f_2</math> verhält sich nahe Null wie <math>h_2(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei <math>(0|-7)</math>.
 
|2=Weiteres Beispiel|3=Beispiel verbergen}}
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|}
 
{{Box| Merke: Verhalten nahe Null |
Das '''Verhalten einer Funktion <math>f</math> nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert <math>f(x)</math> verhält, wenn <math>x</math> gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von <math>x</math>. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem '''absoluten Glied''' <math>a_0</math> und dem Summanden mit dem '''kleinsten Exponenten''' von <math>x</math>, die im Funktionsterm auftaucht.
| Merksatz}}
| Merksatz}}


{{Box | 1=Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion |
{{Box | 1=Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion |
2=Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.
2=Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen.
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Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.
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| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}
| 3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box| Beispiel|
{{Box | 1=Aufgabe 2 - Zuordnen des richtigen Graphen zum Funktionsterm |
*<math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>.
2=Wähle jeweils den richtigen Funktionsgraphen aus, der zum angegebenen Funktionsterm passt.
*Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=2</math> eine gerade Zahl ist und <math>a_n=5>0</math>.
Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.
*Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=-3x+4</math>.
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*Wenn man sich ein kleines Intervall um <math>x=0</math> anschaut, sieht der Graph von <math>f</math> dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von <math>f</math> ist daher auch 4.
| 3=Arbeitsmethode}}
Falls du ein weiteres Beispiel sehen möchtest, klappe es auf:
{{Lösung versteckt|1=
*<math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>.
*Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da <math>n=5</math>  eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=1>0</math>.
*Nahe Null verhält sich <math>f</math> wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei <math>(0,-7)</math>. Ihr y-Achsenabschnitt liegt daher bei <math>-7</math>.
|2=Weiteres Beispiel|3=Beispiel verbergen}}
| Beispiel}}


{{Box | 1=Aufgabe 2 - Beschreibe das Verhalten|
{{Box | 1=Aufgabe 3 - Beschreibe das Verhalten|
2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.
2=Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen '''und''' nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.


'''a)''' <math>f(x)=7x^5-2x^2</math>
'''a)''' <math>f(x)=7x^5-2x^2</math>
{{Lösung versteckt|1=Gehe genauso vor wie im obigen Beispiel. Für das Verhalten im Unendlichen schau dir am besten noch einmal die vier möglichen Fälle an.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=7>0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.
{{Lösung versteckt|1=<math>f</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=7>0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
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|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}


'''c)''' &#x2B50; <math>f_a(x)=-7x^5+ax^3</math> mit <math>a>0</math>
'''c)''' &#x2B50; <math>f_t(x)=-7x^5+tx^3</math> mit <math>t>0</math>
{{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links oben nach rechts unten.
{{Lösung versteckt|1=<math>f_t</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=-7x^5</math>. Da <math>n=5</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-7<0</math>, geht <math>f_t(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f_t(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f_t</math> verläuft also von links oben nach rechts unten.
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich nahe Null wie <math>h_a(x)=ax^3</math>, also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da <math>a</math> positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist <math>0</math>, da das absolute Glied im Funktionsterm von <math>f</math> nicht auftaucht und daher Null ist.
{{Lösung versteckt|1=<math>f_t</math> verhält sich nahe Null wie <math>h_t(x)=tx^3</math>, also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da <math>t</math> positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist <math>0</math>, da das absolute Glied im Funktionsterm von <math>f_t</math> nicht auftaucht und daher Null ist.
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}


'''d)''' &#x2B50; <math>f_a(x)=-ax^3+2x^2-\frac{4}{7}</math> mit <math>a<0</math>
'''d)''' &#x2B50; <math>f_t(x)=-tx^3+2x^2-\frac{4}{7}</math> mit <math>t<0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>a</math> negativ ist. |2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen <math>a_n</math> hat, wenn <math>t</math> negativ ist. |2=Tipp zum Verhalten im Unendlichen|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_a(x)=-ax^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-a>0</math>, da <math>a<0</math> ist, geht <math>f(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.
{{Lösung versteckt|1=<math>f_t</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g_t(x)=-tx^3</math>. Da <math>n=3</math> eine ungerade Zahl ist und <math>a_n=-t>0</math>, da <math>t<0</math> ist, geht <math>f_t(x)\rightarrow-\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f_t(x)\rightarrow\infty</math> für <math>x\rightarrow \infty</math>. Der Graph von <math>f_t</math> verläuft also von links unten nach rechts oben.
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten im Unendlichen|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>f_a</math> verhält sich nahe Null wie <math>h(x)=2x^2-\frac{4}{7}</math>, also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt <math>-\frac{4}{7}</math>.
{{Lösung versteckt|1=<math>f_t</math> verhält sich nahe Null wie <math>h(x)=2x^2-\frac{4}{7}</math>, also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt <math>-\frac{4}{7}</math>.
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung: Verhalten nahe Null|3=Lösung verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 12. Juni 2020, 23:09 Uhr

Merke: Verhalten einer Funktion im Unendlichen

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen plus oder minus unendlich geht, also wie f für sehr große positive und negative Werte von aussieht. Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, man kann also einfach das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die dabei unterschieden werden:

Tabelle Verhalten im Unendlichen.png


Merke: Verhalten nahe Null

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für betragsmäßig kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit dem kleinsten Exponenten von , die im Funktionsterm auftaucht. Wenn du dir unsicher bist, welche Summanden das genau sind, schau am besten einmal genau in das folgende Beispiel.


Beispiel

Betrachte die Funktion .

verhält sich im Unendlichen wie , also geht für und , da eine gerade Zahl ist und .

verhält sich nahe Null wie , also eine fallende Gerade mit Steigung -3 und y-Achsenabschnitt 4.

Falls du ein weiteres Beispiel sehen möchtest, klappe es auf:

Betrachte nun die Funktion .

verhält sich im Unendlichen wie , also geht für und für , da eine ungerade Zahl ist und .

verhält sich nahe Null wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei .


Aufgabe 1 - Quiz zum Verhalten einer Funktion

Wähle die jeweils richtigen Antworten aus. Es können eine oder mehrere Antworten richtig sein. Achte darauf, ob das Verhalten im Unendlichen oder nahe Null gefragt ist. Es kann helfen, dir Notizen zu machen. Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.


Aufgabe 2 - Zuordnen des richtigen Graphen zum Funktionsterm

Wähle jeweils den richtigen Funktionsgraphen aus, der zum angegebenen Funktionsterm passt. Falls du einen Tipp benötigst, klicke links oben auf die Glühlampe.


Aufgabe 3 - Beschreibe das Verhalten

Beschreibe in deinem Heft das Verhalten der nachfolgenden Funktionen und Funktionenscharen im Unendlichen und nahe Null. Gehe dazu vor wie in den Merkboxen oben.

a)

Gehe genauso vor wie im obigen Beispiel. Für das Verhalten im Unendlichen schau dir am besten noch einmal die vier möglichen Fälle an.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung, die um den Faktor zwei gestreckt ist.

b)

Beachte, dass du manchmal den Funktionsterm erst zusammenfassen musst.
Zusammengefasst ist . verhält sich daher im Unendlichen wie . Da eine gerade Zahl ist und , geht für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts unten.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine fallende Gerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt .

c) mit

Gehe bei Funktionenscharen genau so vor wie bei normalen Funktionen.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , geht für und für . Der Graph von verläuft also von links oben nach rechts unten.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine Funktion dritten Gerades, die von links unten nach rechts oben geht, da positiv ist. Der y-Achsenabschnitt ist , da das absolute Glied im Funktionsterm von nicht auftaucht und daher Null ist.

d) mit

Überlege dir zunächst, welches Vorzeichen hat, wenn negativ ist.
verhält sich im Unendlichen wie . Da eine ungerade Zahl ist und , da ist, geht für und für . Der Graph von verläuft also von links unten nach rechts oben.
verhält sich nahe Null wie , also wie eine nach oben geöffnete Parabel mit y-Achsenabschnitt .