Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an. |2=Hilfe 1|3=schließen}} | |||
Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an. | }} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner des Differenzenquotienten steht.|2=Hilfe |3=schließen}} | |||
Überlege dir, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner des Differenzenquotienten steht. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben. | |||
Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben. | |||
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden: <br /> | Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden: <br /> | ||
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math> | Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>|2=Lösung|3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt.|2=Hilfe |3=schließen}} | |||
Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Von 9 bis 13 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann fällt die Anzahl der Besucher bis 16:15 Uhr. Im Anschluss steigt sie erneut bis 18 Uhr, bevor sie in den letzten ein drei viertel Stunden bis zum Schließen des Zoos abnimmt. |2=Lösung|3=schließen}} | |||
Von 9 bis 13 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann fällt die Anzahl der Besucher bis 16:15 Uhr. Im Anschluss steigt sie erneut bis 18 Uhr, bevor sie in den letzten ein drei viertel Stunden bis zum Schließen des Zoos abnimmt. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph in einem bestimmten Intervall ab- oder zunimmt.|2=Hilfe|3=schließen}} | |||
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph in einem bestimmten Intervall ab- oder zunimmt. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Lösungsvorschlag: | |||
Lösungsvorschlag: | |||
Viele Besucher kommen bereits am Vormittag zum Zoo, um den Tag ausgiebig zu nutzen. Ein Teil der Menschen verlässt ab 13 Uhr den Zoologischen Garten, weil sie zu Hause Mittag essen und bereits einige Stunden im Park verbracht haben. Ein weiterer Grund für das Fallen der Besucherzahlen zwischen 13 und 16:15 Uhr ist, dass in der Regel die Menschen während der Mittagszeit zu Hause bleiben. Der Anstieg der Besucherzahl zwischen 16:15 Uhr und 18 Uhr könnte durch Vergünstigungen erklärt werden, die der Zoo in die letzten Stunden des Tages gibt, um mehr Besucher anzulocken. Von 18 bis 19:45 Uhr verlassen die Menschen ihren Ausflugsort. Bereits um 19:36 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Zoo, weil in der Regel die Menschen ein paar Minuten vor Schließung den Ort verlassen. | Viele Besucher kommen bereits am Vormittag zum Zoo, um den Tag ausgiebig zu nutzen. Ein Teil der Menschen verlässt ab 13 Uhr den Zoologischen Garten, weil sie zu Hause Mittag essen und bereits einige Stunden im Park verbracht haben. Ein weiterer Grund für das Fallen der Besucherzahlen zwischen 13 und 16:15 Uhr ist, dass in der Regel die Menschen während der Mittagszeit zu Hause bleiben. Der Anstieg der Besucherzahl zwischen 16:15 Uhr und 18 Uhr könnte durch Vergünstigungen erklärt werden, die der Zoo in die letzten Stunden des Tages gibt, um mehr Besucher anzulocken. Von 18 bis 19:45 Uhr verlassen die Menschen ihren Ausflugsort. Bereits um 19:36 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Zoo, weil in der Regel die Menschen ein paar Minuten vor Schließung den Ort verlassen. | ||
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig. | An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig. | ||
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{{Lösung versteckt|1=Die Gerade stellt die Tangente am Graphen im Punkt P dar und m beschreibt die Steigung der Tangente in P. |2=Lösung|3=schließen}} | |||
Die Gerade stellt die Tangente am Graphen im Punkt P dar und m beschreibt die Steigung der Tangente in P. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Gehe zu der Aufgabe "Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?" zurück. Dort bekommst du einen guten Überblick über die verschiedenen Änderungsraten und darüber, was sie explizit bedeuten. Überlege dir also, welche Änderungsrate du für diese Aufgabe benötigst und stelle eine Verbindung zur Tangente her.|2=Hilfe|3=schließen}} | |||
Gehe zu der Aufgabe "Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?" zurück. Dort bekommst du einen guten Überblick über die verschiedenen Änderungsraten und darüber, was sie explizit bedeuten. Überlege dir also, welche Änderungsrate du für diese Aufgabe benötigst und stelle eine Verbindung zur Tangente her. | |||
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{{Lösung versteckt|1=Die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt P(x|y) ist gleich der momentanen Änderungsrate von dem Graphen an der Stelle x vom Punkt P. Indem du also die Tangentensteigung (also m) kennst, kannst du bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt x (d. h. zu einer bestimmten Uhrzeit) verändert.|2=Lösung|3=schließen}} | |||
Die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt P(x|y) ist gleich der momentanen Änderungsrate von dem Graphen an der Stelle x vom Punkt P. Indem du also die Tangentensteigung (also m) kennst, kannst du bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt x (d. h. zu einer bestimmten Uhrzeit) verändert. | |||
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Version vom 3. Januar 2019, 20:18 Uhr
Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?
Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten.
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:
Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten
Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].
Die folgende Wertetabellle gibt die genauen Daten an:
Zeit in Stunden nach Öffnung des Zoos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 10,6 |
Anzahl der Besucher | 0 | 600 | 950 | 1200 | 1308 | 1249 | 1100 | 1000 | 1050 | 1151 | 837 | 0 |
Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten