Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Ableitung im Sachkontext anwenden: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben|1=4|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe | {{Aufgaben|1=4|2=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe | ||
<br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br /> | <br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br /> | ||
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang. | <span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang. | ||
{{Lösung versteckt|1=f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm.|2=Lösung|3=schließen}} | |||
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<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an. | <span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an. | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir an welche besonderen Punkte man bei einem Funktion berechnen kann. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant? {{Lösung versteckt|1= Extrempunkt (Hochpunkt)<br /> | |||
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 |2=weitere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}} | |||
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 | {{Lösung versteckt|1=Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter/Jahr.|2=Lösung|3=schließen}} | ||
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<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr. | <span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr. | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze für t 7,5 in die Funktion ein (=h(75)).|2=Hilfestellung|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechnung: <math>h(7,5)=-0,0025*7,5^3+0,04*7,5^2+9,170</math> =...≈ <math> 10,37(m) </math><br /> | |||
Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m. | Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m.|2=Lösung|3=schließen}} | ||
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<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg. | <span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg. | ||
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Differenzenquotienten.|2=Hilfestellung|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechnung: <math> \frac{h(8)-h(0)}{8-0} = \frac{10,45-9,17}8 = 0,16 </math>. Die Geschwindigkeit in den ersten achten Stunden betrug durchschnittlich 0,16 m/h. |2=Lösung|3=schließen}} | |||
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<span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand. | <span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand. | ||
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Extrempunkt (Hochpunkt).{{Lösung versteckt|1=Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0|2=genauere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Extremstelle liegt bei <math> t= \frac{32}3 </math> ≈ 10,67 (und t=0, entfällt, da h"(0)>0 und somit wäre es ein Tiefpunkt. (Dieser ist jedoch nicht gesucht.) Der Hochpunkt lautet H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwa 10,69 m um etwa 10:40 Uhr.|2=Lösungen|3=schließen}} | |||
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<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch. | <span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch. | ||
{{Lösung versteckt|1=Berechne die Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung){{Lösung versteckt|1=Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 |2=enauere Hilfestellung|3=schließen}}|2=Hilfestellung|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Wendestelle liegt bei <math> t= \frac{16}3</math>. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg.|2=Lösungen|3=schließen}} | |||
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Version vom 4. Januar 2019, 14:58 Uhr
Aufgabe 1: Fahrtenschreiber
a) Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
b) Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
c) Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.
Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell.
Ist die Steigung schwach, fährt er langsam.
Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Auto.
- Minute 0-2: Steigung ist relativ schwach. → Herr Müller fährt langsam
- Mintuen 3-5: etwas stärkere Steigung → Herr Mülelr fährt schneller
- Minute 5-7: Steigung ist Null → Herr Müller steht mit seinem Auto (vor einer Ampel)
- Minute 7-12: Steigung nimmt zu → Herr Müller wird immer schneller
- Minute 0-2: Steigung ist relativ schwach. → Herr Müller fährt langsam
Aufgabe 2: Ballwurf
a) Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!
b) Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.
c) Ordne die mathematischen Begriffe und Interpretationen den Markierungen auf dem Graphen zu.
Die gelbe Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen.
Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.
grüne Markierung bei x=0 --> Standpunkt des Werfers
rote Markierung bei x=0 --> Y-Achsenabschnitt
erste gelbe Markierung --> Bereich mit positiver Steigung (bis zum Hochpunkt steigt der Graph)
grüne Markierung in der Mitte --> Punkt an dem der Ball weder steigt noch fällt (Im Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null somit ist auch die Steigung gleich null)
rote Markierung bei (30/20) --> Hochpunkt
rote Markierung bei (30/0) --> X-Wert des Hochpunktes
zweite gelbe Markierung --> Bereich mit negativer Steigung (nach Erreichen des Hochpunktes fällt der Graph wieder)
grüne Markierung bei x=61,7 --> Der Ball berührt den Boden
rote Markierung bei x=61,7 --> Nullstelle
d) Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.
ine negative Steigung bedeutet, der Ball verliert an Höhe;
eine positive Steigung bedeutet, dass der Ball an Höhe gewinnt ;
Der Ball wird aus einer Höhe von 2,08m geworfen, dies kann man am Y-Achsenabschnitt ablesen.
Das Intervall geht von 0 bis 61,7. Denn Lisa wirft am Punkt x=0 und der Ball trifft nach 61,7m auf den Boden (diesen Wert erhälst du, indem du die Nullstellen berechnest.
Aufgabe 3: Zuordnungen
Aufgabe 4: Baumwachstum
a) Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
b) Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
Extrempunkt (Hochpunkt)
Aufgabe 5: Wasserstand
a) Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.
Rechnung: =...≈
b) Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
c) Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
d) Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.
Aufgabe 6: Nutzungsverhalten
a) Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="Lösung"> Es sind 270 Besucher </popup>
b) Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="Lösung"> Es sind 206 Nutzer pro Stunde </popup>
c) Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="genauere Hilfe"> Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 </popup>
<popup name="Lösung"> Bei t=10 </popup>
d) Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="Lösung"> Bei t = 15 </popup>
Aufgabe 7: Konzertkarten
a) Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)
Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup>
b) Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)
Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>