Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt

SEITE IM AUFBAU!

Einstieg und Vorwissen
1) Vierecke und ihre Eigensschaften
2) Haus der Vierecke
3) Winkelsumme im Viereck
4) Umfang und Flächeninhalt

4) Umfang und Flächeninhalt von Vierecken und Dreiecken

In diesem Kapitel leitest du die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt für die besonderen Vierecke und für Dreiecke her. Notiere alle Formeln in deinem Heft der Vierecke.

Beginne mit der Wiederholung der Formeln für das Quadrat und Rechteck.

Info: Übungen befinden sich auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 1-36 [1]

4.1) Quadrat und Rechteck: Umfang und Flächeninhalt

Quadrat und Rechteck

Stelle beim nachfolgenden GeoGebra-Applet mithilfe der Schieberegler die Länge und Breite so ein, dass du zunächst ein Quadrat betrachtest!
Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?

Stelle danach verschiedene Rechtecke ein.
Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?

Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck

Bearbeite das nachfolgende Quiz und übertrage den Merksatz anschließend in dein Heft. Denke an die passenden Skizzen.
Notiere die Formeln auch in deinem Heft der Vierecke.

QUADRAT

Flächeninhalt A = a∙a
                       = a²
Umfang        u = 4∙a

RECHTECK
Flächeninhalt A = a∙b
Umfang    u = 2a + 2b = 2(a+b) .

Übung 1

Löse S. 83 Nr. 4 und 5.

Da die Seitenlänge gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

u = 4∙a

Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt also 36?

Erinnerung: Quadratzahlen!

Da die Seitenlänge b gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

A = a∙b

Da die Seitenlänge b gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

u = 2∙(a + b)

Übung 2

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 90 Nr. 13

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Rechtecks geschieht. Notiere und erkläre.

4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.

Höhen im Parallelogramm

Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

Höhen im Parallelogramm zeichnen

Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h_a und h_b. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie

Nullpunkt

Mittellinie

Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:

Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.

Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.

Zeichne die Höhe.

Beschrifte die Zeichnung.

Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:

Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können: Beispiel 2

Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Beispiel 3

Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Übung 2: Höhen zeichnen

Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙h_a oder A = b∙h_b; allgemein: A = g∙h

Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).

Übung 3

Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch

• S. 85 Nr. 1
• S. 85 Nr. 2
• S. 85 Nr. 6

Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h_a=5cm und b=6cm.
A=a∙h_a
  =8∙5
  =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²

u=2a + 2b
  =2∙8 + 2∙6
  =28 (cm)

Achte auf gleiche Einheiten!

a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm

Umstellen der Formel

Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.

Umstellen nach einer Seite:

A = a∙h_a   |:h_a
$\tfrac{A}{ha}$ = a
a = $\tfrac{A}{ha}$

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙h_a   |:a
$\tfrac{A}{a}$ = h_a

h_a = $\tfrac{A}{a}$

Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
$\tfrac{u}{2}$ - b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.

Übung 4

Löse Buch

• S. 85 Nr. 7
• S. 96 Nr. 3

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

Übung 5

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 86 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.

Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 86 Nr. 9
• S. 86 Nr. 10
• S. 86 Nr. 11
• S. 86 Nr. 12
• S. 86 Nr. 13

Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.

Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)

geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6 m; ha= 4,25m
2. a = 4m; ha = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²

ges.: Anzahl der Dachziegel

Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt.
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!

geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; ha= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)
45,30€ pro m²

ges.: Kosten

Übung 7

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 90 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.

4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

Flächeninhalt und Umfang einer Raute

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a∙h_a

Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A = $\frac{\text{e*f}}{\text{2}}$

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .

Übung 7

Löse Buch

• S. 96 Nr. 5c

Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge. Berechne damit den Flächeninhalt.
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.

4.5) Trapez: Umfang und Flächeninhalt

Flächeninhalt und Umfang des Trapezes

Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet:
A = $\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}$ oder A = $\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}$∙h

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit

u = a + b + c + d.

Übung 8

Löse Buch

• S. 92 Nr. 1
• S. 92 Nr. 2a,c

Umstellen der Formel

Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c.

2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.

Umstellen nach der Seite a:

$\frac{\text{a+c}}{\text{2}}$∙h   |∙2
2∙A = (a+c)∙h   |:h
$\frac{\text{2A}}{\text{h}}$ = a+c   |-c
$\frac{\text{2A}}{\text{h}}$ - c = a

Stelle die Formel entsprechend nach c um.

Umstellen nach der Höhe:

$\frac{\text{a+c}}{\text{2}}$∙h   |∙2
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c)
$\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}$ = h

Übung 9

Löse Buch

• S. 92 Nr. 5
• S. 96 Nr. 4

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

Übung 10: Anwendungsaufgaben zu Trapezen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 92 Nr. 6
• S. 92 Nr. 7
• S. 92 Nr. 8

Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen.

Gesucht ist die Querschnittsfläche.
Lösung: 1386m²

Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen:
Der Boden ist ein Rechteck.
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze.
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen.

Lösung: 671 cm²

Zugabe von 10%
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; p⁺%=110%=1,1
ges: G⁺

G⁺=G∙p⁺%

Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines.
Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²).
Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine

4.6) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt

Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

Die Höhen stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.

In einem stumpfwinkligen Dreieck verlaufen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks.

Höhen im Dreieck zeichnen

Zeichne ein beliebiges Dreieck in dein Heft und beschrifte es. Zeichne nun die Höhen h_a, h_b und h_c ein. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Zeichne die Höhe h_c zur Seite c:

Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.

Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.

Schiebe das Geodreieck so weit entlang der Seite, bis die Zeichenkante durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

Zeichne und beschrifte die Höhe.

Zeichne ebenso die Höhe h_a zur Seite a:

... und die Höhe h_b zur Seite b:

In einem stumpfwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen teils außerhalb des Dreiecks. Die Dreiecksseite muss verlängert werden, um die Höhe einzeichnen zu können:

Übung 11: Höhen zeichnen

Zeichne auf dem AB Nr. 2 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt.

Du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch anders herleiten:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks

NOCH ERGÄNZEN
Der Flächeninhalt A eines Dreiecks wird folgendermaßen berechnet:
A = $\tfrac{\text{a*h}}{2}$ = $\tfrac{\text{b*h}}{2}$ = $\tfrac{\text{c*h}}{2}$; allgemein: A = $\tfrac{\text{g*h}}{2}$

Der Umfang u eines Dreiecks wird berechnet mit

u = a + b + c.

Übung 12

Löse Buch

• S. 88 Nr. 1
• S. 88 Nr. 2

Umstellen der Formel

Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.

Umstellen nach einer Seite:

A = a∙h_a   |:h_a
$\tfrac{A}{ha}$ = a
a = $\tfrac{A}{ha}$

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙h_a   |:a
$\tfrac{A}{a}$ = h_a

h_a = $\tfrac{A}{a}$

Übung 13

Löse Buch

• S. 85 Nr. 6

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

Übung 14: Anwendungsaufgaben zu Dreiecken

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 89 Nr. 9
• S. 89 Nr. 10
• S. 89 Nr. 11

Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht werden. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie mit den gegebenen Größen.

Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).
Lösung zur Kontrolle:A_Holz=1,125m²
Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).
Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:
Ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke außen.
Lösung zur Kontrolle:A=5,72m²
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere jeweils die Fläche mit dem Preis pro m².

Lösung zur Kontrolle:Gesamtkosten ca.397,11€

Das Dach des Kirchturms besteht aus 4 Dreiecken. Welche Maße musst du für deine Skizze nutzen? Eine Angabe in der Zeichnung ist überflüssig.

Eine Dreiecksfläche hat die Grundseite g=5,2m und die Höhe h=7,35m. Die andere Zahlenangabe ist für die Lösung dieser Aufgabe überflüssig!

Um die Dachfläche zu bestimmen, berechne den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche und mutlipliziere diese mit 4.
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²

Die Schulhoffläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem ein Rechteck abgezogen werden muss. Der Winkel oben links ist ein rechter Winkel. Daher ist eine der Seiten a und b die Grundseite und die andere Seite ist die Höhe des Dreiecks.

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Übung 15

Nachdenkaufgaben: Löse Buch

• S. 89 Nr. 12
• S. 90 Nr. 15

Nutze als Hilfe die nachfolgende Applets. Was geschieht mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Dreiecks. Notiere und erkläre.

4.7) Drachenviereck: Umfang und Flächeninhalt (Sprinteraufgabe)

Leite mithilfe des nachfolgenden GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Drachens (Deltoid) her:

Flächeninhalt und Umfang eines Drachen (Deltiod)

BILD ERGÄNZEN

Sind e und f die Diagonalen des Drachen gilt:
A = $\frac{\text{e*f}}{\text{2}}$

Der Umfang u eines Drachen wird berechnet mit

u = a + b + c + d = 2a + 2b (da d=a und c=b) .

Übung 17

Löse Buch

• S. 96 Nr. 5b

Um die Tabelle auszufüllen, musst du die Flächeninhaltsformel umstellen:
A = $\frac{\text{e*f}}{\text{2}}$   |∙2
2∙A = e∙f   |:e
$\frac{\text{2*A}}{\text{e}}$ = f   | gegebene Werte einsetzen
$\frac{\text{2*88}}{\text{11}}$ = f   | berechne, denke ans Kürzen

16 (cm) = f

Stelle die Formel nach e um:
A = $\frac{\text{e*f}}'''{\text{2}}$   |∙2
2∙A = e∙f   |:f
$\frac{\text{2*A}}{\text{f}}$ = e   | gegebene Werte einsetzen
$\frac{\text{2*76}}{\text{9,5}}$ = e   | berechne, denke ans Kürzen

16 (cm) = e

Achte auf gleiche Einheiten! e=380cm = 3,8m
Löse dann wie in Aufgabenteil a)

Achte auf gleiche Einheiten! f = 14,5dm = 1,45m
Alternativ kannst du auch die Fläche in dm² angeben:
0,9425m² = 94,25dm² (Verwandlungszahl 100!)Löse dann wie in Aufgabenteil 2)

5) Zusammengesetzte Figuren

6) Anwendungsaufgaben