Benutzer:Carolin WWU-6

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Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen geht, also für sehr große Werte von . Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich und gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

gerade ungerade
gerade und :

verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

ungerade und :

verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

gerade und :

verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

ungerade und :

verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert verhält, wenn gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von . Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe aus dem absoluten Glied und dem Summanden mit der geringsten Potenz von x, die im Funktionsterm auftaucht.


Beispiel 1

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine gerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um anschaut, sieht der Graph von dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von ist daher auch 4.


Beispiel 2

verhält sich im Unendlichen wie . Für geht und für geht , da eine ungerade Zahl ist und . Nahe Null verhält sich wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .