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Das '''Verhalten einer Funktion f im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst.
Das '''Verhalten einer Funktion f im Unendlichen''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:
| Merksatz}}
 
{| class="wikitable center"
!n gerade
!n ungerade
|-
|n gerade und <math>a_n>0</math>:
 
f verläuft "von links oben nach rechts oben",
 
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n>0</math>:
 
f verläuft "von links unten nach rechts oben",
 
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
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|n gerade und <math>a_n<0</math>:
 
f verläuft "von links unten nach rechts unten",
 
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n<0</math>:
 
f verläuft "von links oben nach rechts unten",


#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
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#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
| Merksatz}}


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Das '''Verhalten einer Funktion f nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Term mit der geringsten Potenz von x.
Das '''Verhalten einer Funktion f nahe Null''' beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Term mit der geringsten Potenz von x.
| Merksatz}}
| Merksatz}}


'''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.
'''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich im Unendlichen wie <math>g(x)=5x^2</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.


'''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
'''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich im Unendlichen wie  <math>g(x)=x^5</math>. Für <math>x\rightarrow -\infty</math> geht daher <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> und für <math>x\rightarrow \infty</math> geht <math>f(x)\rightarrow\infty</math>, da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie <math>h(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei <math>(0,-7)</math>.
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
{| class="wikitable center"
!n gerade
!n ungerade
|-
|n gerade und <math>a_n>0</math>:
f verläuft "von links oben nach rechts oben",
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n>0</math>:
f verläuft "von links unten nach rechts oben",
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|-
|n gerade und <math>a_n<0</math>:
f verläuft "von links unten nach rechts unten",
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>
|n ungerade und <math>a_n<0</math>:
f verläuft "von links oben nach rechts unten",
<math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>,
<math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>
|}

Version vom 10. April 2020, 07:40 Uhr


Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Merke

Das Verhalten einer Funktion f im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst:

n gerade n ungerade
n gerade und :

f verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

n ungerade und :

f verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

n gerade und :

f verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

n ungerade und :

f verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für


Merke

Das Verhalten einer Funktion f nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied und dem Term mit der geringsten Potenz von x.


Ein Beispiel: verhält sich im Unendlichen wie . Für geht daher und für geht , da 5>0 und 2 eine gerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.

Ein weiteres Beispiel: verhält sich im Unendlichen wie . Für geht daher und für geht , da 1>0 und 5 eine ungerade Zahl ist. Nahe Null verhält sich f wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (und y-Achsenabschnitt) bei .




  1. n ist eine gerade Zahl und ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt für .
  2. n ist eine gerade Zahl und ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt für .
  3. n ist eine ungerade Zahl und ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt für und für .
  4. n ist eine ungerade Zahl und ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt für und für .


n gerade n ungerade
n gerade und :

f verläuft "von links oben nach rechts oben",

für

n ungerade und :

f verläuft "von links unten nach rechts oben",

für , für

n gerade und :

f verläuft "von links unten nach rechts unten",

für

n ungerade und :

f verläuft "von links oben nach rechts unten",

für , für