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===Verhalten im Unendlichen und nahe Null===
Das Verhalten einer Funktion f im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen <math>\pm\infty</math> geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also <math>g(x)=a_n x^n</math>. Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst.
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
#n ist eine gerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\pm\infty</math>.
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
#n ist eine ungerade Zahl und <math>a_n</math> ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt <math>f(x)\rightarrow \infty</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math> und <math>f(x)\rightarrow -\infty</math> für <math>x\rightarrow\infty</math>.
Das Verhalten einer Funktion f nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form <math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0</math> verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied <math>a_0</math> und dem Term mit der geringsten Potenz von x.
'''Ein Beispiel:''' <math>f(x)=5x^2-3x+4</math> verhält sich nahe Null wie <math>g(x)=-3x+4</math>. Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4.
'''Ein weiteres Beispiel:''' <math>f(x)=x^5+4x^2-7</math> verhält sich nahe Null wie <math>g(x)=4x^2-7</math>, also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (0|-7).

Version vom 9. April 2020, 13:57 Uhr


Verhalten im Unendlichen und nahe Null

Das Verhalten einer Funktion f im Unendlichen beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen geht, also für sehr große Werte von x. Bei ganzrationalen Funktionen der Form kann man das Verhalten im Unendlichen untersuchen, indem man sich den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten von x anschaut. Betrachte also . Im Unendlichen verhalten sich f und g gleich, du musst also nur das Verhalten im Unendlichen von g untersuchen. Es gibt vier Fälle, die du dabei unterscheiden musst.

  1. n ist eine gerade Zahl und ist positiv. Dann verläuft f "von links oben nach rechts oben", das heißt für .
  2. n ist eine gerade Zahl und ist negativ. Dann verläuft f "von links unten nach rechts unten", das heißt für .
  3. n ist eine ungerade Zahl und ist positiv. Dann verläuft f "von links unten nach rechts oben", das heißt für und für .
  4. n ist eine ungerade Zahl und ist negativ. Dann verläuft f "von links oben nach rechts unten", das heißt für und für .

Das Verhalten einer Funktion f nahe Null beschreibt, wie sich der Funktionswert f(x) verhält, wenn x gegen Null geht, also für sehr kleine Werte von x. Eine ganzrationale Funktion der Form verhält sich nahe Null wie die Summe des absoluten Glied und dem Term mit der geringsten Potenz von x. Ein Beispiel: verhält sich nahe Null wie . Wenn man sich ein kleines Intervall um x=0 anschaut, sieht der Graph von f dort lokal also aus wie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem y-Achsenabschnitt 4. Der y-Achsenabschnitt von f ist daher auch 4. Ein weiteres Beispiel: verhält sich nahe Null wie , also wie eine um den Faktor 4 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (0|-7).