Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen

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Gleichungen lösen

Gleichungen

Je nachdem, in welcher Potenz die Variable vorkommt, unterschieden wir zwischen verschiedenen Gleichungen.
Lineare Gleichung: Die Variable kommt nur in einfacher Potenz vor, also x. Beispiel: 3x + 4 (x - 3) = 4 - (3 - x) + 2
Quadratische Gleichung: Die Variable kommt in quadratischer Form vor, also x². Beispiel: -2x² + 2x + 24 = 0

Gleichungen höheren Grades: Die Variable kommt in höherer Potenz vor. Beispiel: 375 = 3x³

Gleichungen lösen

Gleichungen lösen durch
Termumformungen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen

Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren/subtrahieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren (außer 0)

Erinnerung: Terme mit Klammern (Klasse 8)

Präge dir die Regeln zum Auflösen von Klammern ein. Notiere als Hilfe die entsprechenden Symbole hinter den Termen.

1.1 Lineare Gleichungen lösen

Gleichungen lösen Schritt für Schritt

Übung

In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

S. 119, P10
S. 119, P11

1.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungenm mit je zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Du hast verschiedene Möglichkeiten, ein LGS zu lösen:

zeichnerisch
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren)
Einsetzungsverfahren

Zeichnerisch lösen:

Gleichsetzungsverfahren:

Additionsverfahren:

Einsetzungsverfahren:

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Übung

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Additionsverfahren Schritt für Schritt berichtigt 1.png

Übung

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Additionsverfahren.

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Übung

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Einsetzungsverfahren.

Übung: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

S. 120, P22 - P25
S. 120, P26 - P28

1.3 Quadratische Gleichungen lösen

Formen quadratischer Gleichungen

Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen und diese werden auf verschiedene Arten gelöst.

Rein quadratische Gleichungen: ax² + c = 0
Gemischt quadratische Gleichungen - Normalform: x² + px + q = 0
Gemischt quadratischer Gleichungen - allgemeine Form: ax² + bx + c = 0

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, um welche Form quadratischer Gleichungen es sich handelt.

Übersicht zur Lösung quadratischer Gleichungen:

rein quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen in der Normalform lösen mit der p-q-Formel

Gleichungen in allgemeiner Form lösen

Rein quadratische Gleichungen lösen

Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:
ax² = c.

Löse durch Wurzelziehen.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen mit der p-q-Formel

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0 Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = - $\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -

\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}

an.

Übe das Umwandeln in die Normalform:

Ein Video zur Zusammenfassung:

1.3.1) Rein quadratische Gleichungen lösen

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel):

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn der Radikand positiv, null oder negativ ist.

1.3.2) Gemischt quadratische Gleichungen lösen

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.

Lösen durch Ausklammern: Gleichungen der Form x² + bx = 0

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.
Beginnen wir mit dem besonderen Fall, dass die Gleichung die Form x² + bx = 0 hat, es also keinen Term "ohne" Variable gibt und eine Seite den Wert 0 hat.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern

Hat die Gleichung die Form x² + bx = 0, so kannst du x ausklammern:
x² + bx = 0
x(x + b) = 0 Dieses Produkt wird nur 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt), also
x = 0 oder x + b = 0 |-b

x₁ = 0 oder x₂ = -b.

Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du gemischt quadratische Gleichungen lösen. Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel.

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = - $\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.

Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$ =-11; - $\tfrac{p}{2}$ =11; q=72
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{121-72}$
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{49}$
x_1/2 = 11 $\pm$ 7
x₁ = 18; x₂ = 4

Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$ =-11; - $\tfrac{p}{2}$ =11; q=72
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11 $\pm$ 7
x₁ = 18; x₂ = 4

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung

\left ( \frac{b}{2} \right )^2

auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die p-q-Formel zur Lösung anwenden.

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die p-q-Formel zur Lösung angewendet werden.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -

\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}

an.

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:

Ein Video zur Zusammenfassung:

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand $\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q$ wird Diskriminante D genannt.
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.

Beispiele:

D > 0, zwei Lösungen:

1. x² + 6x + 5 = 0 | $\tfrac{p}{2} = 3; q = 5$
x_1/2 = -3 $\pm\sqrt{3^2-5}$
x_1/2 = -3 $\pm\sqrt{4}$ D = 4 (positiv)
x_1/2 = -3 $\pm$ 2 x₁ = -1 ; x₂ = -5