Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
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<br>
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]}}
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}
<br>
<br>


Zeile 14: Zeile 15:


Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem '''rechtwinkligen''' Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:<br>
Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem '''rechtwinkligen''' Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:<br>
[[Datei:Idee Flipchart.png|rahmenlos]]
[[Datei:Idee Flipchart.png|rahmenlos|200x200px]]
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!|Tipp|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!|Tipp|Verbergen}}


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<br>
<br>
{{Box|Übung 2 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 2 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 8
* 10
* 17
* 19
* 25|Üben}}
* 27|Üben}}
<br>
<br>


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<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-3">① Bestimme c (Pythagoras):<br>
  <div class="width-1-3">① Bestimme b (Pythagoras):<br>
a² + b² = c² &nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
a² + b² = c² &nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
b = <math>\sqrt{\text{c²-a²}}</math> <br>
b = <math>\sqrt{\text{c²-a²}}</math> <br>
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  <div class="width-1-3">① Bestimme c (Pythagoras):<br>
  <div class="width-1-3">① Bestimme c (Pythagoras):<br>
a² + b² = c² &nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
a² + b² = c² &nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
c = <math>\sqrt{\text{a²-b²}}</math> <br>
c = <math>\sqrt{\text{a²+b²}}</math> <br>
c = <math>\sqrt{\text{6,8²-3,4²}}</math> <br>
c = <math>\sqrt{\text{6,5²+3,4²}}</math> <br>
c <math>\approx</math> 7,3 (cm)</div>
c <math>\approx</math> 7,3 (cm)</div>
  <div class="width-1-3">② Bestimme den Winkel α :<br>
  <div class="width-1-3">② Bestimme den Winkel α :<br>
tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math>&nbsp;&nbsp;<br>
tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math>&nbsp;&nbsp;<br>
tan α = <math>\tfrac{6,8}{3,4}</math>&nbsp;&nbsp;&#124; tan<sup>-1</sup><br>
tan α = <math>\tfrac{6,5}{3,4}</math>&nbsp;&nbsp;&#124; tan<sup>-1</sup><br>
<math>\alpha \approx</math> 62,4° </div>
<math>\alpha \approx</math> 62,4° </div>
  <div class="width-1-3">③ Bestimme β:<br>
  <div class="width-1-3">③ Bestimme β:<br>
Zeile 200: Zeile 201:
{{#ev:youtube|3rUZQkd0HUQ|460|center}}</div>
{{#ev:youtube|3rUZQkd0HUQ|460|center}}</div>
</div>
</div>
<br>
{{Box|Winkel berechnen|Übungen zum Berechnen von Winkeln mit Sinus, Kosinus und Tanges Winkel findest du auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* Sinus 12,13,14
* Kosinus 21,22,23
* Tangens 29,30,31|Üben}}


{{Box|Übung 3|Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft.
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft.
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|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}
|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}


====Zwischentest 2: Fehlende Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen====
<quiz display="simple">
{Wie sieht eine Planskizze für ein Dreieck mit β=90° aus?}
- [[Datei:Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png|rahmenlos]]
+ [[Datei:Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png|rahmenlos]]
- [[Datei:Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png|rahmenlos]]


{Berechne die fehlenden Größen im Dreieck.


[[Datei:Dreieck Beta 90 Grad, Alpha 46 Grad a 10 cm.png|rahmenlos|400x400px]]}
- b = 7,2 cm
+ b = 13,9 cm
+ c = 9,7 cm
- c = 9,6 cm
- γ = 54°
+ γ = 44°


{Berechne den fehlenden Größen im Dreieck.
[[Datei:Dreieck rechtwinklig und zwei Seiten gegeben.png|rahmenlos|400x400px]]}
+ c = 7,4 cm
- c = 10,1 cm
+ α = 61,0°
- α = 61,1°
+ β = 29,0°
- β = 28,9°
</quiz>
===2.2 Anwendungsaufgaben===
===2.2 Anwendungsaufgaben===
{{LearningApp|app=ph3n1nhq321|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=ph3n1nhq321|width=100%|height=600px}}


{{Box|Übung 5 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 5 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 14
* 16
* 34
* 35
* 36
* 37
* 38
* 38
* 41|Üben}}
* 39
* 40
* 43
* 73
* 74|Üben}}


{{Box|Übung 6|Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.
{{Box|Übung 6|Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.
Zeile 268: Zeile 302:
[[Datei:Steigungsdreieck mit Winkel.png|rahmenlos]]<br>
[[Datei:Steigungsdreieck mit Winkel.png|rahmenlos]]<br>
<br>
<br>
{{Box|1=Steigung m und Steigungswinkel α|2=Mithilfe des Tangens kannst du nun zum einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.<br>
{{Box|1=Steigung m und Steigungswinkel α|2=Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.<br>
Steigung m = <math>\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
Steigung m = <math>\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
<br>
<br>
Zeile 286: Zeile 320:
geg: m = 25% = 0,25<br>
geg: m = 25% = 0,25<br>
ges: α<br>
ges: α<br>
tan α = m
tan α = m<br>
tan α = 0,25 &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
tan α = 0,25 &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
&nbsp;α = 14°</div>
&nbsp;α = 14°</div>
Zeile 304: Zeile 338:
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?<br>
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?<br>
Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.|Meinung}}  
Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.|Meinung}}  
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α. Die Skizze veranschaulicht noch einmal, was "Steigung von 6%" bedeutet: 6 m Höhenunterschied bei 100m Horizontalunterschied.<br>
[[Datei:Bild zu Steigung 6% Winkel berechnen.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung:<br>
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung:<br>
m = tan α &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
m = tan α &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
Zeile 335: Zeile 370:
* S. 105 Nr. 5|Üben}}
* S. 105 Nr. 5|Üben}}


Applet zu Nr. 2
Applet zu Nr. 2 Originallink: https://www.geogebra.org/m/bzbzxnzc
<ggb_applet id="bzbzxnzc" width="1522" height="733" border="888888" />
<ggb_applet id="bzbzxnzc" width="1522" height="733" border="888888" />
 
{{Lösung versteckt|Es gibt zu jeder Seite zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke, also 24 insgesamt.|Lösung zu Nr. 2c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="jauesbmf" width="986" height="622" border="888888" />|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="xxcrgubx" width="1536" height="802" border="888888" />|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Teildreieck 1 zu Nr. 4<br>
{{Lösung versteckt|Teildreieck 1 zu Nr. 4<br>
[[Datei:S. 105 Nr. 4 Skizze 1.png|rahmenlos]]|Tipp 1 zu Nr. 4|Verbergen}}
[[Datei:S. 105 Nr. 4 Skizze 1.png|rahmenlos]]|Tipp 1 zu Nr. 4|Verbergen}}
Zeile 360: Zeile 397:


{{Box|Übung 9 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 9 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 51
* 76
* 52 |Üben}}
* 77
* 80|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. V<sub>Quader</sub> = a·b·c.<br>
{{Lösung versteckt|1=Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. V<sub>Quader</sub> = a·b·c.<br>
[[Datei:Skizze 1 zu Nr. 51.png|rahmenlos]][[Datei:Skizze 2 zu Nr. 51.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu 52|3=Verbergen}}
Die Maße können sich von denen auf der Seite Aufgabenfuchs unterscheiden, sie werden dort immer neu generiert.
[[Datei:Skizze 1 zu Nr. 51.png|rahmenlos]][[Datei:Skizze 2 zu Nr. 51.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu 77|3=Verbergen}}
<br>
<br>
====Zwischentest 3: Anwendungsaufgabe====
<quiz display="simple">
{[[Datei:Trapez Deich Querschnitt.png|rahmenlos|600x600px]]
Löse die Aufgabe im Heft. Kontrolliere deine Endergebnisse durch Ankreuzen der richtigen Lösungen unten.<br>
Gegeben ist der Querschnitt eines Deiches. Berechne den Böschungswinkel α und die Sohlenlänge (Länge der unteren Seite).}
- α = 3°
+ α = 17,7°
- Sohlenlänge ≈ 34m
+ Sohlenlänge ≈ 37m
{Wie viel Erde wird für einen 2 km langen Deich benötigt?}
+ V ≈ 256000 m³
- V ≈ 236800 m³
</quiz>
===Aufgaben für Profis===
===Aufgaben für Profis===
Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen:
Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen:
Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?
Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?
{{Box|Übung 10 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 10 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 54 **
* 56 **
* 55 ***
* 57 ***
* 62 ***|Üben}}
* 78 ***|Üben}}
{{Lösung versteckt|Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke, ein rotes und ein blaues. Die Länge der Landebahn lässt sich dann aus den Seitenlänge berechnen:<br>
{{Lösung versteckt|Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke, ein rotes und ein blaues. Die Länge der Landebahn lässt sich dann aus den Seitenlänge berechnen:<br>
[[Datei:Skizze zu Nr. 53.png|rahmenlos]]|Tipp zu 54|Verbergen}}
[[Datei:Skizze zu Nr. 53.png|rahmenlos]]|Tipp zu 56|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bestimme zunächst die Höhe des Daches. Im zweiten Schritt kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge von x bestimmen.<br>
[[Datei:Skizze 1 zu Nr. 54 neu.png|rahmenlos|600x600px]][[Datei:Skizze 2 zu Nr. 54.png|rahmenlos]]<br>|Tipp zu 55|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zwischenlösungen zu 55:<br>
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs: <br>
u<sub>Kreis</sub>=2πr &nbsp;&nbsp;&#124;:(2π)<br>
<math>\tfrac{u}{2\pi}</math> = r<br>
Lösung: r = 2,8 (m)<br>
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)<br>
tanα = <math>\tfrac{a}{28,8}</math> <br>
...<br>
a = 16,6 (m)<br>
...<br>
b = 12,1 (m), also<br>
h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)|2=Zwischenlösungen zu 55|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.<br>
{{Lösung versteckt|1=Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.<br>
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.<br>
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.<br>
Lösung: x = 36,...<br>
Lösung: x = 36,...<br>
Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.|2=Tipp 1 zu 62|3=Verbergen}}
Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.|2=Tipp 1 zu 57|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.<br>
{{Lösung versteckt|1=Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.<br>
<br>
<br>
Zeile 397: Zeile 440:
<math>\tfrac{tan(48)}{tan(25)}</math>·x = 50 + x  &nbsp;&nbsp;&#124;-x<br>
<math>\tfrac{tan(48)}{tan(25)}</math>·x = 50 + x  &nbsp;&nbsp;&#124;-x<br>
2,38·x - 1x = 50<br>
2,38·x - 1x = 50<br>
1,38x = 50  &nbsp;&nbsp;&#124;:1,38
1,38x = 50  &nbsp;&nbsp;&#124;:1,38<br>
x ≈ 36,23.. (m) <br>
x ≈ 36,23.. (m) <br>
<br>
<br>
Zeile 403: Zeile 446:
h = tan(48)·x &nbsp;&nbsp;&#124;einsetzen<br>
h = tan(48)·x &nbsp;&nbsp;&#124;einsetzen<br>
h = tan(48)·36,23..<br>
h = tan(48)·36,23..<br>
h = 40,..|2=Tipp 2 zu 62|3=Verbergen}}
h = 40,..|2=Tipp 2 zu 57|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|Bestimme zunächst die Höhe des Daches. Im zweiten Schritt kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge von x bestimmen.<br>
[[Datei:Skizze 1 zu Nr. 54 neu.png|rahmenlos|600x600px]][[Datei:Skizze 2 zu Nr. 54.png|rahmenlos]]<br>|Tipp zu 78|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zwischenlösungen zu 78:<br>
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs: <br>
u<sub>Kreis</sub>=2πr &nbsp;&nbsp;&#124;:(2π)<br>
<math>\tfrac{u}{2\pi}</math> = r<br>
Lösung: r = 2,8 (m)<br>
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)<br>
tanα = <math>\tfrac{a}{28,8}</math> <br>
...<br>
a = 16,6 (m)<br>
...<br>
b = 12,1 (m), also<br>
h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)|2=Zwischenlösungen zu 78|3=Verbergen}}


{{Box|Übung 11|Aufgabe Checkliste<br>
Löse S. 115 Nr. 6 links und rechts. Die Hilfsapplets findest du unten.|Üben}}
<ggb_applet id="q3vjy5ke" width="834" height="787" border="888888" />
<ggb_applet id="szuup5va" width="878" height="554" border="888888" />
<small>Applets von C.Buß-Haskert</small>
{{Fortsetzung|weiter=3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken}}
{{Fortsetzung|weiter=3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken}}

Aktuelle Version vom 25. April 2023, 14:08 Uhr


Schullogo HLR.jpg


2 Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken


2.1 Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen

Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:
Idee Flipchart.png

Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!

Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:

St. Otger von Westen mit eingerüstetem Turm

Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.

Kirchturm Stadtlohn Skizze.png
Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel = 56° gegeben, der Winkel ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu .
Gesucht ist die Länge der Seite h. Dies ist die Gegenkathete zu .

Also hilft uns hier der Tangens weiter, denn tan = .

Kirchturm Stadtlohn rechtwinkliges Dreieck.png
Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!

tan = = . Stelle nun diese Gleichung nach h um.

tan (56°) = |∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m) h

Der Kirchturm ist also ca. 74 m hoch.


Übung 1 (online)
Gib das Seitenverhältnis an und berechne jeweils die Länge der Strecke x in den nachfolgenden LearningApps.


Übung 2 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 10
  • 19
  • 27



Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen oder eine Seite und ein Winkel gegeben, kannst du fehlenden Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

Wähle das passende Seitenverhältnis aus (Sinus, Kosinus oder Tangens) und stelle - falls nötig - die Formel um.
Übertrage die nachfolgenden Beispiele in dein Heft.


Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite (Hypotenuse) und ein Winkel sind gegeben
Beispiel 1 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); c = 6,8 cm; = 56°
ges: a; b; β

① Bestimme a:

sin α =   |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8

a 5,6 (cm)
② Bestimme b:

cos α =   |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8

b 3,8 (cm)
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 56° - 90°

   = 34°


Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b =
   =
   3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.

Du kannst β auch kürzer bestimmen mit

α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.



Beispiel 2: eine Seite (Kathete) und ein Winkel sind gegeben
Beispiel 2 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 8,4 cm; = 62,8°
ges: b; c;

① Bestimme c:

sin α =   |∙c
c ∙ sin α = a   |: sin α
c =
c =

   9,4 (cm)
② Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):

tan α =   |∙b
b ∙ tan α = a   |: tan α
b =
b =

   4,3 (cm)
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 68,2° - 90°

   = 27,2°


Beispiel 3: zwei Seiten sind gegeben (Kathete und Hypotenuse)
Beispiel 4 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm
ges: b; α; β

① Bestimme b (Pythagoras):

a² + b² = c²  |
b =
b =

b 6,6 (cm)
② Bestimme den Winkel α :

sin α =   
sin α =   | sin-1

43,8°
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 43,8° - 90°

   = 46,2°


Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Taschenrechner Bild shift markiert.png
Taschenrechner Bild sin markiert rot.png
Taschenrechner Bild Bruchtaste.png
Taschenrechner Bild Pfeil und Klammer zu.png
Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png
Taschenrechner Bild shift.png
Taschenrechner Bild sin-1.png
Taschenrechner Bild sin-1 mit Bruch.png
Taschenrechner Bild sin-1 mit Klammer.png
Taschenrechner Bild sin-1 Ergebnis.png



Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)
Beispiel 3 Berechnungen.png
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β

① Bestimme c (Pythagoras):

a² + b² = c²  |
c =
c =

c 7,3 (cm)
② Bestimme den Winkel α :

tan α =   
tan α =   | tan-1

62,4°
③ Bestimme β:

Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 62,4° - 90°

   = 27,6°


Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Taschenrechner Bild shift markiert.png
Taschenrechner Bild tan.png
Taschenrechner Bild Bruchtaste.png
Taschenrechner Bild Pfeil und Klammer zu.png
Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png
Taschenrechner Bild shift.png
Taschenrechner Bild tan-1.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch mit Klammer zu.png
Taschenrechner Bild tan-1 Bruch Ergebnis.png



Die Videos fassen die Möglichkeiten der Berechnungen zusammen:


Winkel berechnen

Übungen zum Berechnen von Winkeln mit Sinus, Kosinus und Tanges Winkel findest du auf der Seite Aufgabenfuchs

  • Sinus 12,13,14
  • Kosinus 21,22,23
  • Tangens 29,30,31


Übung 3

Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft.

  • S. 94 Nr. 1
  • S. 94 Nr. 2
  • S. 94 Nr. 3

a) Löse wie in Beispiel 1
b) Löse wie in Beispiel 2
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 3

Lösungen (der Größe nach sortiert)
2,9cm; 4,4cm; 5,7cm; 8,1cm; 12,2cm; 14,0cm;

29,7°; 37,7°; 52,3°; 60,3°; 60,5°; 62,6°

a) Löse wie in Beispiel 2
b) Löse wie in Beispiel 3
c) Löse wie in Beispiel 4

d) Löse wie in Beispiel 1

Lösungen (der Größe nach sortiert):
3,8cm; 5,7cm; 6,8cm; 7,8cm; 11,9cm; 14,1cm;

24,4°; 29,2°; 29,5°;57,5°; 60,8°; 65,6°
Löse wie in Beispiel 1

Lösungen:

3,731km; 4,952km


Übung 4

Zeichne zunächst eine Planskizze mit γ = 90° und markiere die gegebenen Größen. Berechne danach die fehlenden Größen. Notiere deine Rechnungen ausführlich. Buch

  • S. 95 Nr. 4

Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png

a) Löse wie in Beispiel 1.
b) Löse wie in Beispiel 4.
c) Löse wie in Beispiel 3.
d) Löse wie in Beispiel 1.
e) Löse wie in Beispiel 2.
f) Löse wie in Beispiel 2.

Zwischentest 2: Fehlende Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen

1 Wie sieht eine Planskizze für ein Dreieck mit β=90° aus?

Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png

2 Berechne die fehlenden Größen im Dreieck.

Dreieck Beta 90 Grad, Alpha 46 Grad a 10 cm.png

b = 7,2 cm
b = 13,9 cm
c = 9,7 cm
c = 9,6 cm
γ = 54°
γ = 44°

3 Berechne den fehlenden Größen im Dreieck.

Dreieck rechtwinklig und zwei Seiten gegeben.png

c = 7,4 cm
c = 10,1 cm
α = 61,0°
α = 61,1°
β = 29,0°
β = 28,9°

2.2 Anwendungsaufgaben


Übung 5 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 16
  • 38
  • 39
  • 40
  • 43
  • 73
  • 74


Übung 6

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 96 Nr. 14
  • S. 96 Nr. 15
  • S. 97 Nr. 17
  • S. 97 Nr. 19

Vergleiche deine Skizze:

S. 96 Nr. 14 Skizze.png
Wandle 106m in km um, gleiche Einheiten!
Die Seile führen bis ca. der Höhe des ganzen Mastes. Sie reichen hier also bis 400m, der Winkel bleibt bei 61°. Bestimme damit die Seillänge.

2.3 Zusammenhang Steigung m und Steigungswinkel α

Du hast zu Beginn drei Möglichkeiten wiederholt, die Steigung z.B. einer Straße anzugeben:
1. in Prozent (mit p% = m),
2. als Steigung m und
3. mit dem Steigungswinkel α.
Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.

Steigungsdreieck mit Winkel.png

Steigung m und Steigungswinkel α

Mithilfe des Tangens kannst du nun zu einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m =

m = und ebenfalls ist tan α = , also gilt

m = tan α


Berechne die Steigung m, wenn der Steigungswinkel α gegeben ist:

geg: α = 7°
ges: m
m = tan α
   = tan (7°)
   0,123

   = 12,3%
Berechne den Steigungswinkel α, wenn die Steigung m gegeben ist.

geg: m = 25% = 0,25
ges: α
tan α = m
tan α = 0,25   |tan-1

 α = 14°



Übung 7

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 96 Nr. 12
  • S. 96 Nr. 16
m=tanα Berechne mit dem Taschenrechner. Wandle danach danach den Dezimalbruch in Prozent um.

Im Bild sind die Steigungsdreiecke eingezeichnet. Erinnerung: "y durch x, sonst geht nix."

S. 96 Nr. 16 Steigungsdreiecke.png


Rampe - Anwendungsaufgabe zur Steigung

Ein Kino möchte eine Rampe bauen. Damit Rollstuhlfahrer diese per Handbetrieb befahren können, darf die Steigung maximal 6% betragen.
a) Wie groß ist der Steigungswinkel α?
b) Wie lang wird die Rampe, wenn ein Höhenunterschied von 0,90 m überwunden werden muss?

Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner. Löse dann im Heft. Denke an eine Skizze.

Die Steigung 6% bedeutet, dass m = 6% = 0,06 beträgt. Bestimme nun den Steigungswinkel α. Die Skizze veranschaulicht noch einmal, was "Steigung von 6%" bedeutet: 6 m Höhenunterschied bei 100m Horizontalunterschied.

Bild zu Steigung 6% Winkel berechnen.png

Erinnerung:
m = tan α   |tan-1

α = ...
Skizze Kino Rampe.png
Lösungen: α ≈ 3,43°; x ≈ 15 m


Rampen in Stadtlohn

Die nachfolgenden Bilder zeigen Rampen in Stadtlohn.

Gruppenarbeit: Wählt ein Bild aus und denkt euch eine Anwendungsaufgabe dazu aus.
Bild Steigung Haus Hackenfort.jpg
Bild Steigung Kirche.jpg
Bild Steigung Losbergpark.jpg
Bild Steigung Metzger neu.jpg
Bild Steigung Apotheke.jpg
Bild Steigung Friseur.jpg


2.4 Anwendungen im Raum

Übung 8

Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich.

  • S. 105 Nr. 2
  • S. 105 Nr. 3
  • S. 105 Nr. 4
  • S. 105 Nr. 5

Applet zu Nr. 2 Originallink: https://www.geogebra.org/m/bzbzxnzc

GeoGebra
Es gibt zu jeder Seite zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke, also 24 insgesamt.
GeoGebra
GeoGebra

Teildreieck 1 zu Nr. 4

S. 105 Nr. 4 Skizze 1.png

Teildreieck 2 zu Nr. 4

S. 105 Nr. 4 Skizze 2.png

Wie lautet die Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide? Schlage in der Formelsammlung nach.
Bestimme die Körperhöhe hK mit tan 72° = ...

Lösung:hK = 22,3cm

Für die Berechnung des Volumens benötigst du die Körperhöhe hK.
s = 25,4; β = 75°; sin 75° = ...

Lösung:hK = 24,5 cm

Du benötigst auch die Länge der Grundkante a.
Bestimme zunächst die Länge der halben Diagonalen mit cos 75° = ...
Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Grundkante.
Quadrat mit Diagonale.png
a² + a² = d²
2a² = d²   |:2
a² =   |
a =
...

a ≈ 9,3 (cm)


Übung 9 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 76
  • 77
  • 80

Um das Volumen zu bestimmen, berechne die Längen der Kanten b und c. VQuader = a·b·c.
Die Maße können sich von denen auf der Seite Aufgabenfuchs unterscheiden, sie werden dort immer neu generiert.

Skizze 1 zu Nr. 51.pngSkizze 2 zu Nr. 51.png


Zwischentest 3: Anwendungsaufgabe

1 Trapez Deich Querschnitt.png

Löse die Aufgabe im Heft. Kontrolliere deine Endergebnisse durch Ankreuzen der richtigen Lösungen unten.
Gegeben ist der Querschnitt eines Deiches. Berechne den Böschungswinkel α und die Sohlenlänge (Länge der unteren Seite).

α = 3°
α = 17,7°
Sohlenlänge ≈ 34m
Sohlenlänge ≈ 37m

2 Wie viel Erde wird für einen 2 km langen Deich benötigt?

V ≈ 256000 m³
V ≈ 236800 m³

Aufgaben für Profis

Eine weitere Möglichkeit der Gelände-Vermessungen sind doppelte Peilungen: Schaffst du, die nachfolgenden anspruchsvollen Aufgaben?

Übung 10 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 56 **
  • 57 ***
  • 78 ***

Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke, ein rotes und ein blaues. Die Länge der Landebahn lässt sich dann aus den Seitenlänge berechnen:

Skizze zu Nr. 53.png

Die Gleichungen, die zur Lösung nötig sind, sind in der Aufgabenstellung gegeben.
Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.
Lösung: x = 36,...

Setze dann x in die erste oder zweite Gleichung ein, um h zu bestimmen.

Löse die Gleichung tan(48)·x = tan(25)·(50+x) nach x auf.

tan(48)·x = tan(25)·(50+x)   |:tan(25)
·x = 50 + x   |-x
2,38·x - 1x = 50
1,38x = 50   |:1,38
x ≈ 36,23.. (m)

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert
h = tan(48)·x   |einsetzen
h = tan(48)·36,23..

h = 40,..

Bestimme zunächst die Höhe des Daches. Im zweiten Schritt kannst du dann mit dem Satz des Pythagoras die Länge von x bestimmen.

Skizze 1 zu Nr. 54 neu.pngSkizze 2 zu Nr. 54.png

Zwischenlösungen zu 78:
Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs:
uKreis=2πr   |:(2π)
= r
Lösung: r = 2,8 (m)
Die Ankathete zur Berechnung der Seitenlänge a beträgt also 26+2,8 = 28,8 (m)
tanα =
...
a = 16,6 (m)
...
b = 12,1 (m), also

h = a - b = 16,6 - 12,1 = 4,5 (m)


Übung 11

Aufgabe Checkliste

Löse S. 115 Nr. 6 links und rechts. Die Hilfsapplets findest du unten.
GeoGebra
GeoGebra

Applets von C.Buß-Haskert