Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU
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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]}}
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}
<br>
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</div>
</div>
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<br>
 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
① Bestimme γ:<br>
① Bestimme γ:<br>
Winkelsummensatz<br>
Winkelsummensatz<br>
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&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br>
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br>
&nbsp;&nbsp; = 76°<br>
&nbsp;&nbsp; = 76°<br>
 
</div>
<br>
<div class="width-1-3">
② Berechne h<sub>a</sub>:<br>
② Berechne h<sub>a</sub>:<br>
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
c · sin β = h<sub>a</sub> <br>
c · sin β = h<sub>a</sub> <br>
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br>
8,5 · sin(42°) = h<sub>a</sub> <br>
5,7 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br>
5,7 (cm) h<sub>a</sub>
 
</div>
 
<div class="width-1-3">
③ Berechne b:<br>
③ Berechne b:<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br>
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b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br>
b = <math>\tfrac{h_a}{sin\gamma}</math> <br>
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br>
b = <math>\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}</math> <br>
b <math>\approx</math> 5,9 (cm)<br>
b 5,9 (cm)<br>
 
</div>
</div>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
Berechne a:<br>
Berechne a:<br>
<div class="grid">
④ Berechne a<sub>1</sub>:<br>
<div class="width-1-3">④ Berechne a<sub>1</sub>:
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
cos β = <math>\tfrac{a_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
c · cos β = a<sub>1</sub><br>
c · cos β = a<sub>1</sub><br>
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br>
8,5 · cos (42°) = a<sub>1</sub><br>
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div>
6,3 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub>
  <div class="width-1-3">⑤ Berechne a<sub>2</sub>:
</div>
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
  <div class="width-1-3">
⑤ Berechne a<sub>2</sub>:<br>
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·b<br>
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br>
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br>
5,9 · cos (76°) =  a<sub>2</sub><br>
5,9 · cos (76°) =  a<sub>2</sub><br>
1,4 (cm) <math>\approx</math>  a<sub>2</sub></div>
1,4 (cm) <math>\approx</math>  a<sub>2</sub>
 
</div>
  <div class="width-1-3">⑥ Berechne a:<br>
  <div class="width-1-3">
⑥ Berechne a:<br>
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br>
a = a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> <br>
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br>
&nbsp;&nbsp; = 6,3 + 1,4 <br>
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)</div>
&nbsp;&nbsp; = 7,7 (cm)
</div>
</div>
</div>
<br>
<br>
Zeile 72: Zeile 81:
</div>
</div>
<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
① Bestimme γ:<br>
① Bestimme γ:<br>
Winkelsummensatz<br>
Winkelsummensatz<br>
Zeile 77: Zeile 88:
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br>
&nbsp;&nbsp; = 180° - 42° - 62°<br>
&nbsp;&nbsp; = 76°<br>
&nbsp;&nbsp; = 76°<br>
<br>
</div>
② Berechne h<sub>b</sub>:<br>
<div class="width-1-3">
② Berechne h<sub>b</sub>: <br>
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
c · sin α = h<sub>b</sub> <br>
c · sin α = h<sub>b</sub> <br>
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br>
8,5 · sin(62°) = h<sub>b</sub> <br>
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br>
7,5 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub>  
 
</div>
<div class="width-1-3">
③ Berechne a:<br>
③ Berechne a:<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br>
Zeile 90: Zeile 103:
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br>
a = <math>\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}</math> <br>
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br>
a <math>\approx</math> 7,7 (cm)<br>
 
</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
Berechne b:<br>
Berechne b:<br>
<div class="grid">
④ Berechne b<sub>1</sub>:<br>
<div class="width-1-3">④ Berechne b<sub>1</sub>:
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
cos α = <math>\tfrac{b_1}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
c · cos α = b<sub>1</sub><br>
c · cos α = b<sub>1</sub><br>
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br>
8,5 · cos (62°) = b<sub>1</sub><br>
4,0 (cm) <math>\approx</math>a<sub>1</sub></div>
4,0 (cm) <math>\approx</math>b<sub>1</sub>
  <div class="width-1-3">⑤ Berechne b<sub>2</sub>:
</div>
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·c<br>
  <div class="width-1-3">
⑤ Berechne b<sub>2</sub>:<br>
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124; ·a<br>
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br>
a · cos γ = b<sub>2</sub> <br>
7,7 · cos (76°) =  b<sub>2</sub><br>
7,7 · cos (76°) =  b<sub>2</sub><br>
1,9 (cm) <math>\approx</math>  b<sub>2</sub></div>
1,9 (cm) <math>\approx</math>  b<sub>2</sub>
 
</div>
  <div class="width-1-3">⑥ Berechne b:<br>
  <div class="width-1-3">
⑥ Berechne b:<br>
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br>
b = b<sub>1</sub> + b<sub>2</sub> <br>
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br>
&nbsp;&nbsp; = 4,0 + 1,9 <br>
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)</div>
&nbsp;&nbsp; = 5,9 (cm)
</div>
</div>
</div>
<br>
<br>
Zeile 117: Zeile 136:
  <div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div>
  <div class="width-1-2">[[Datei:Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png|rahmenlos|400x400px]]</div>
</div>
</div>
 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br>
① Bestimme h<sub>a</sub>:<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_a}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br>
b · sin γ = h<sub>a</sub> <br>
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br>
5,8 · sin(65°) = h<sub>a</sub><br>
5,2 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br>
5,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
② Bestimme a<sub>2</sub><br>
② Bestimme a<sub>2</sub><br>
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
Zeile 129: Zeile 150:
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br>
5,8 · cos(65°) = a<sub>2</sub><br>
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br>
2,5 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
③ Bestimme a<sub>1</sub><br>
③ Bestimme a<sub>1</sub><br>
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br>
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br>
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br>
8,2 - 2,5 = a<sub>1</sub> <br>
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br>      
5,7 (cm) = a<sub>1</sub><br>
 
</div>
</div>    
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
④  Bestimme β<br>
④  Bestimme β<br>
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br>
tan β = <math>\tfrac{h_a}{a_1}</math><br>
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
tan β = <math>\tfrac{5,2}{5,7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
β <math>\approx</math> 42,4°<br>
β <math>\approx</math> 42,4°<br>
</div>


<div class="width-1-3">
⑤ Bestimme c<br>
⑤ Bestimme c<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br>
sin β = <math>\tfrac{h_a}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br>
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br>
c · sin β = h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin β<br>
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br>
c = <math>\tfrac{h_a}{sin\beta}</math><br>
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br>
c = <math>\tfrac{\text{5,2}}{\text{sin (42,4°)}}</math><br>
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br></div>  
c <math>\approx</math> 7,7 (cm) <br>ODER:<br>  
<div class="width-1-2">c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
c² = <math>h_a^2 + a_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br>
c= <math>\sqrt{h_a^2 + a_1^2}</math><br>
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br>
c = <math>\sqrt{5,2^2 + 5,7^2}</math><br>
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)
</div>  
</div>  
</div>
<div class="width-1-3">
 
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br>
⑥ Bestimme den letzten Winkel α <br>
Winkelsumme<br>
Winkelsumme<br>
Zeile 162: Zeile 186:
α = 72,6°
α = 72,6°
<br>
<br>
</div>
</div>


'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br>
'''2. Möglichkeit:''' Zerlege das Dreieck durch die '''Höhe h<sub>b</sub>''' ein zwei rechtwinklige Dreiecke.<br><br>
Zeile 169: Zeile 196:
</div>
</div>
<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br>
① Bestimme h<sub>b</sub>:<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br>
sin γ = <math>\tfrac{h_b}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br>
Zeile 174: Zeile 203:
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br>
8,2 · sin(65°) = h<sub>b</sub><br>
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br>
7,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>b</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
② Bestimme b<sub>2</sub><br>
② Bestimme b<sub>2</sub><br>
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br>
cos γ = <math>\tfrac{b_2}{a}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·a<br>
Zeile 180: Zeile 210:
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br>
8,2 · cos(65°) = b<sub>2</sub><br>
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br>
3,5 (cm) <math>\approx</math> b<sub>2</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
③ Bestimme b<sub>1</sub><br>
③ Bestimme b<sub>1</sub><br>
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br>
b – b<sub>2</sub>= b<sub>1</sub> <br>
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br>
5,8 - 3,5 = b<sub>1</sub> <br>
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br>      
2,3 (cm) = b<sub>1</sub><br>
 
</div>
</div>    
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
④  Bestimme α<br>
④  Bestimme α<br>
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br>
tan α = <math>\tfrac{h_b}{b_1}</math><br>
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
tan α = <math>\tfrac{7,4}{2,3}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;tan<sup>-1</sup><br>
α <math>\approx</math> 72,7°<br>
α <math>\approx</math> 72,7°<br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
⑤ Bestimme c<br>
⑤ Bestimme c<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br>
sin α = <math>\tfrac{h_b}{c}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·c<br>
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br>
c · sin α = h<sub>b</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;: sin α<br>
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br>
c = <math>\tfrac{h_b}{sin\alpha}</math><br>
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br>
c = <math>\tfrac{\text{7,4}}{\text{sin (72,7°)}}</math><br>
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br></div>  
c <math>\approx</math> 7,8 (cm) <br>
<div class="width-1-2">c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
ODER:<br>  
c² = <math>h_b^2 + b_1^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br>
c= <math>\sqrt{h_b^2 + b_1^2}</math><br>
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br>
c = <math>\sqrt{7,4^2 + 2,3^2}</math><br>
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)
c <math>\approx</math> 7,7 (cm)
</div>  
</div>  
</div>
<div class="width-1-3">
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br>
⑥ Bestimme den letzten Winkel β <br>
Winkelsumme<br>
Winkelsumme<br>
Zeile 210: Zeile 244:
β = 180° - α - γ <br>
β = 180° - α - γ <br>
β= 180° - 72,7° - 65°<br>
β= 180° - 72,7° - 65°<br>
β = 42,3°
β = 42,3°</div>
<br>
</div><br>
<br>
<br>
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br>
Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.<br>
Zeile 222: Zeile 256:
</div>
</div>
<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br>
① Bestimme h<sub>c</sub>:<br>
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
sin α = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
b · sin α = h<sub>c</sub> <br>
b · sin α = h<sub>c</sub> <br>
10,5 · sin(37°) = h<sub>b</sub><br>
10,5 · sin(37°) = h<sub>c</sub><br>
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br>
6,3 (cm) <math>\approx</math> h<sub>c</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
② Bestimme c<sub>1</sub><br>
② Bestimme c<sub>1</sub><br>
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
cos α = <math>\tfrac{c_1}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>
Zeile 233: Zeile 270:
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br>
10,5 · cos(37°) = c<sub>1</sub><br>
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br>
8,4 (cm) <math>\approx</math> c<sub>1</sub> <br>
 
</div>
<div class="width-1-3">
③ Bestimme c<sub>2</sub><br>
③ Bestimme c<sub>2</sub><br>
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a²  &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br>
<math>h_c^2 + c_2^2</math> = a²  &nbsp;&nbsp;&#124;-<math>h_c^2 </math><br>
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>c_2^2</math> = a² - <math>h_c^2</math>&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_b^2}</math><br>
c<sub>2</sub>= <math>\sqrt{a^2 - h_c^2}</math><br>
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br>
c<sub>2</sub> = <math>\sqrt{7^2 - 6,3^2}</math><br>
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br>
c<sub>2</sub> <math>\approx</math> 3,1 (cm)<br>
</div>
</div>
<br>


④ Bestimme c:
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
④ Bestimme c:<br>
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br>
c = c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub><br>
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br>
&nbsp;&nbsp; = 8,4 + 3,1<br>
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)<br>  
&nbsp;&nbsp; = 11,5 (cm)</div>
 
<div class="width-1-3">
⑤  Bestimme β<br>
⑤  Bestimme β<br>
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br>
sin β = <math>\tfrac{h_c}{a}</math><br>
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br>
sin β = <math>\tfrac{6,3}{7}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;sin<sup>-1</sup><br>
β <math>\approx</math> 64,2°<br>
β <math>\approx</math> 64,2°
 
</div>
 
<div class="width-1-3">⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br>
⑥ Bestimme den letzten Winkel γ<br>
Winkelsumme<br>
Winkelsumme<br>
α + β + γ  = 180°   &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br>
α + β + γ  = 180°   &nbsp;&nbsp;&#124;- α; -β<br>
γ = 180° - β - γ <br>
γ = 180° - β - α<br>
γ= 180° - 37° - 64,2°<br>
γ= 180° - 37° - 64,2°<br>
γ = 78,8°
γ = 78,8°
</div>
</div>


<br>
<br>
Zeile 265: Zeile 309:


{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 1 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 61
* 45
* 62
* 46|Üben}}
* 63|Üben}}
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.
{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.
* S. 99 Nr. 1
* S. 99 Nr. 1
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===3.4 Anwendungsaufgaben===
===3.4 Anwendungsaufgaben===
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
{{Box|Übung 3 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.
* 63
* 47
* 64|Üben}}
* 48|Üben}}
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.<br>
[[Datei:Skizze zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br>
[[Datei:Skizze 2 zu Nr. 63.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 3 zu Nr. 63.png|rahmenlos]]<br>
Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 47|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.<br>
[[Datei:Skizze zu Nr. 64.png|rahmenlos]] <br>
[[Datei:Skizze zu Nr. 64 1.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze zu Nr. 64 2.png|rahmenlos]]<br>
Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.|Tipp zu Nr. 48|Verbergen}}
 


{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.
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* S. 100 Nr. 7
* S. 100 Nr. 7
* S. 100 Nr. 8|Üben}}
* S. 100 Nr. 8|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.<br>
[[Datei:Skizze zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]]<br>
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.<br>
[[Datei:Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png|rahmenlos]] oder [[Datei:Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png|rahmenlos]]<br>
Lösung: c= 2,535; a = 1,757|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br>
{{Lösung versteckt|1=Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (A<sub>Dreieck</sub>= <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>)<br>
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br>
[[Datei:S. 100 Nr. 7 Skizze.png|rahmenlos]]<br>
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[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br>
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png|rahmenlos]]<br>
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br>
Bestimme h<sub>a</sub>, δ<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a.<br>
(Lösung: a=3,6sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}
(Lösung: a=3,63 sm)|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}}
===3.5 Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===
{{Lösung versteckt|1=Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β<sub>2</sub> von β und den Winkel δ<sub>2</sub> mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.<br>
[[Datei:Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png|rahmenlos]]<br>
(Lösung: h<sub>e</sub> = 1,92 sm; d = 3,51 sm)|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}}
 
====Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck====
<quiz display="simple">
{Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.
 
[[Datei:Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg|rahmenlos|500x500px]]}
 
+ Länge ≈ 30,33 m
- Länge ≈ 30,21 m
 
</quiz>
 
===3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)===


{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br>
{{Box|Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)|Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.<br>
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden.
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.
Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt.
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiere im Heft.
Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.
* [https://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.html Link 1 zur Herleitung (realmath)]
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach.php Link 1 zur Herleitung (realmath)]
* [https://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.html Link 2]
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach2.php Link 2]
* [https://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.html Link 3]
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/trigodreieckflach3.php Link 3]
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}
Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?|Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke|2=[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:<br>
A = <math>\tfrac{1}{2}</math>·b·c·sinα<br>|3=Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1=Herleitung:<br>
linkes Teildreieck: <br>
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br>
b·sinα = h<sub>c</sub><br>
Flächeninhaltsformel:<br>
A = <math>\tfrac{c\cdot h_c}{2}</math> &nbsp;&#124; setze für h<sub>c</sub> = b·sinα ein<br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{c\cdot b\cdot sin\alpha}{2}</math><br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>b·c·sinα<br>
Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.|2=Herleitung der Formel|3=Verbergen}}


{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:
{{Box|Übung 5 (online)|Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:
* [https://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.html Übung (realmath)]|Üben}}
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/dreiecktrigo.php Übung (realmath)]|Üben}}


{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.
{{Box|Übung 6|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.
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* S. 111 Nr. 3|Üben}}
* S. 111 Nr. 3|Üben}}


===3.6 Erweiterung: Sinussatz===
In allgemeinen Dreiecken gilt der Sinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/ynfadptm<br>
<ggb_applet id="ynfadptm" width="990" height="787" border="888888" /><br>
<small>Applet von Buß-Haskert</small>
[[Datei:Dreieck mit hc.png|rechts|rahmenlos]]<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
linkes Teildreieck: <br>
sinα = <math>\tfrac{h_c}{b}</math> &#124;·b<br>
b·sinα = h<sub>c</sub> <br>
</div>
<div class="width-1-2">
rechtes Teildreieck: <br>
sinβ = <math>\tfrac{h_c}{a}</math> &#124;·b<br>
a·sinβ = h<sub>c</sub> <br>
</div>
</div>
Also gilt:<br>
a·sinβ = b·sinα  &nbsp;&#124; : sinα; : sinβ<br>
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta}</math><br>
Ebenso kannst du dies für h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> herleiten und erhältst den Sinussatz:<br>
<math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math>
{{Box|1=Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=[[Datei:Allgemeines Dreieck (farbig).png|rechts|rahmenlos]]In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<br>
<big><math>\tfrac{a}{sin\alpha} = \tfrac{b}{sin\beta} = \tfrac{c}{sin\gamma}</math></big>|3=Merksatz}}
{{#ev:youtube|O2ZY6htEY4k|800|center}}
{{Box|Übung 7|Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch
* S. 114, Nr. 25|Üben}}
===3.7 Erweiterung: Kosinussatz===
In allgemeinen Dreiecken gilt der Kosinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/zyafbyhq <br>
<ggb_applet id="zyafbyhq" width="1026" height="787" border="888888" />
{{Box|1=Kosinussatz (für allgemeine Dreiecke)|2=[[Datei:Allgemeines Dreieck (farbig).png|rechts|rahmenlos]]In jedem Dreieck ABC gilt:<br>
* a² = b² + c² - 2bc·cosα
* b² = a² + c² - 2ac·cosβ
* c² = a² + b² - 2ab·cosγ|3=Merksatz}}
{{Box|1=Kosinussatz: Übungsaufgabe|2=[[Datei:Kosinussatz Aufgabe.png|rechts|rahmenlos]]In einem Dreieck sind die Längen der Seite a = 4cm und b = 6cm und der Winkel γ = 58° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebenen Größen in den Kosinussatz ein:<br>
c² = a² + b² - 2ab·cosγ<br>
c² = 4² + 6² - 2·4·6·cos(58°)<br>
c² ≈ 26,56 &#124;:<math>\surd</math><br>
c ≈ 5,15(cm)|2=Lösung anzeigen|3=Verbergen}}
<br>


{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}
{{Fortsetzung|weiter=4 Berechnungen in beliebigen Figuren|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren}}

Aktuelle Version vom 3. April 2024, 10:26 Uhr


Schullogo HLR.jpg


3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Idee Flipchart.png

Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.


Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Zerlege das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete Höhe h ein.
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.

Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)

3.1 Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben


1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

② Berechne ha:
sin β =   | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ≈ ha

③ Berechne b:
sin γ =   | ·b
b · sin γ = ha   | : sin γ
b =
b =
b ≈ 5,9 (cm)


Berechne a:
④ Berechne a1:
cos β =   | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1
6,3 (cm) a1

⑤ Berechne a2:
cos γ =   | ·b
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2
1,4 (cm) a2

⑥ Berechne a:
a = a1 + a2
   = 6,3 + 1,4
   = 7,7 (cm)


2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

② Berechne hb:
sin α =   | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb

③ Berechne a:
sin γ =   | ·a
a · sin γ = hb   | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)

Berechne b:
④ Berechne b1:
cos α =   | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1
4,0 (cm) b1

⑤ Berechne b2:
cos γ =   | ·a
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2
1,9 (cm) b2

⑥ Berechne b:
b = b1 + b2
   = 4,0 + 1,9
   = 5,9 (cm)


3.2 Beispiel 2: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben


1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 3.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png

① Bestimme ha:
sin γ =    |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(65°) = ha
5,3 (cm) ha

② Bestimme a2
cos γ =    |·b
b · cos γ = a2
5,8 · cos(65°) = a2
2,5 (cm) a2

③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 2,5 = a1
5,7 (cm) = a1

   

④  Bestimme β
tan β =
tan β =    |tan-1
β 42,4°

⑤ Bestimme c
sin β =    |·c
c · sin β = ha   |: sin β
c =
c =
c 7,7 (cm)
ODER:
c² =   |
c=
c =
c 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel α 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 42,4° - 65°
α = 72,6°


2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.

Dreieck 3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 3.2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme hb:
sin γ =    |·a
a · sin γ = hb
8,2 · sin(65°) = hb
7,4 (cm) hb

② Bestimme b2
cos γ =    |·a
a · cos γ = b2
8,2 · cos(65°) = b2
3,5 (cm) b2

③ Bestimme b1
b – b2= b1
5,8 - 3,5 = b1
2,3 (cm) = b1

   

④  Bestimme α
tan α =
tan α =    |tan-1
α 72,7°

⑤ Bestimme c
sin α =    |·c
c · sin α = hb   |: sin α
c =
c =
c 7,8 (cm)
ODER:
c² =   |
c=
c =
c 7,7 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel β 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- α; -γ
β = 180° - α - γ
β= 180° - 72,7° - 65°

β = 42,3°



Du merkst, es kommt zu Rundungsungenauigkeiten.

3.3 Beispiel 3: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel sind gegeben

Erkläre, warum es hier nur eine Möglichkeit gibt, das Dreieck zu zerlegen: die Höhe hc .

Dreieck 4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 4.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png


① Bestimme hc:
sin α =    |·b
b · sin α = hc
10,5 · sin(37°) = hc
6,3 (cm) hc

② Bestimme c1
cos α =    |·b
b · cos α = c1
10,5 · cos(37°) = c1
8,4 (cm) c1

③ Bestimme c2
= a²   |-
= a² -   |
c2=
c2 =
c2 3,1 (cm)


④ Bestimme c:
c = c1 + c2
   = 8,4 + 3,1

   = 11,5 (cm)

⑤  Bestimme β
sin β =
sin β =    |sin-1
β 64,2°

⑥ Bestimme den letzten Winkel γ

Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- α; -β
γ = 180° - β - α
γ= 180° - 37° - 64,2°
γ = 78,8°


Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:



Übung 1 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 45
  • 46
Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizze in dein Heft und zerlege das allgemeine Dreieck durch eine geeignete Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme dann die fehlenden Größen.

  • S. 99 Nr. 1
  • S. 99 Nr. 2
  • S. 99 Nr. 4
  • S. 100 Nr. 6
Löse wie im 2. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben.
Löse wie im 1. Beispiel, es sind eine Seite und zwei Winkel gegeben.
Löse wie im 3. Beispiel, es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben

3.4 Anwendungsaufgaben

Übung 3 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 47
  • 48

Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann den fehlenden Winkel, die Länge der entsprechenden Höhe und die Längen der Seiten a und b.
Skizze zu Nr. 63.png
Skizze 2 zu Nr. 63.png oder Skizze 3 zu Nr. 63.png

Prüfe deine Lösungen auf der Seite Aufgabenfuchs.

Skizziere das zugehörige Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bestimme dann schrittweise die fehlenden Größen.
Skizze zu Nr. 64.png
Skizze zu Nr. 64 1.png oder Skizze zu Nr. 64 2.png

Prüfe dein Ergebnis auf der Seite Aufgabenfuchs.


Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne die Skizzen in dein Heft und löse schrittweise. Notiere vollständig und übersichtlich.

  • S. 99 Nr. 5
  • S. 100 Nr. 7
  • S. 100 Nr. 8

Erstelle eine Skizze zur Aufgabe und beschrifte sie vollständig.
Skizze zu S. 99 Nr. 5.png
Zerlege das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
Skizze 1 zu S. 99 Nr. 5.png oder Skizze 2 zu S. 99 Nr. 5 neu.png

Lösung: c= 2,535; a = 1,757

Die Dachfläche besteht aus 4 Dreiecksflächen. Bestimme also die Fläche eines Dreiecks und multipliziere diesen Flächeninhalt mit 4. Die Skizze hilft dir bei der Bestimmung der nötigen Größen. (ADreieck= )
S. 100 Nr. 7 Skizze.png

Zwischenlösung: hc=14,42m; c=10,78m

Erstelle eine Skizze zur Aufgabe:
Skizze zu S. 100 Nr. 8.png

Gesucht sind hier nun a und d.

Betrachte das linke Dreieck ABL. Zerlege es in rechtwinklige Teildreiecke (ohne die gegebene Seite c zu teilen). Die Skizze hilft dir für deinen Lösungsplan.
Skizze zu S. 100 Nr. 8a.png
Bestimme ha, δ1, a1, a2, a.

(Lösung: a=3,63 sm)

Betrachte zur Lösung das linke Dreieck BCL. Gegeben ist nun auch aus Teil a) die Länge der Strecke a = 3,63 sm. Berechne den Nebenwinkel β2 von β und den Winkel δ2 mihilfe der Winkelsumme. Zerlege auch dieses Dreieck wieder in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Die Skizze hilft dir, die nötigen Rechenschritte zu planen.
Skizze zu S. 100 Nr. 8b.png

(Lösung: he = 1,92 sm; d = 3,51 sm)

Zwischentest 4: Anwendung in einem beliebigen Dreieck

Im Losbergpark soll eine neue Brücke über den See gebaut werden. Berechne die Länge der Brücke.

Trigonometrie Brücke Losbergpark.jpg

Länge ≈ 30,33 m
Länge ≈ 30,21 m


3.5 Erweiterung: Formel für den Flächeninhalt beliebiger Dreiecke (mit Sinus)

Flächeninhaltsformel Dreieck (mit Sinus)

Gruppenarbeit: Arbeitet arbeitsteilig in 3er Gruppen.
Der Flächeninhalt von Dreiecken kann mit dem Sinus eines Winkels und zweier Seitenlängen bestimmt werden. Die Herleitung der Formel ist auf der Seite realmath dargestellt. Öffnet arbeitsteilig die Seite und leitet die Flächeninhaltsformel für ein Dreieck her. Notiert im Heft.

Welche Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede entdeckt ihr?


Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke
Dreieck mit hc.png
Den Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks können wir mit den Formeln berechnen:
A = ·b·c·sinα

Herleitung:
linkes Teildreieck:
sinα = |·b
b·sinα = hc

Flächeninhaltsformel:
A =  | setze für hc = b·sinα ein
   =
   = b·c·sinα

Ebenso kannst du die Flächeninhaltsformeln für die anderen Seiten als Grundseiten herleiten.


Übung 5 (online)

Flächeninhalt von Dreiecken berechnen:


Übung 6

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die Rechnungen übersichtlich und vollständig in deinem Heft.

  • S. 99 Nr. 3
  • S. 100 Nr. 9
  • S. 111 Nr. 3

3.6 Erweiterung: Sinussatz

In allgemeinen Dreiecken gilt der Sinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/ynfadptm

GeoGebra


Applet von Buß-Haskert

Dreieck mit hc.png


linkes Teildreieck:
sinα = |·b
b·sinα = hc

rechtes Teildreieck:
sinβ = |·b
a·sinβ = hc

Also gilt:
a·sinβ = b·sinα  | : sinα; : sinβ

Ebenso kannst du dies für ha und hb herleiten und erhältst den Sinussatz:


Sinussatz (für allgemeine Dreiecke)
Allgemeines Dreieck (farbig).png
In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:


Übung 7

Löse mithilfe des Sinussatzes im Buch

  • S. 114, Nr. 25

3.7 Erweiterung: Kosinussatz

In allgemeinen Dreiecken gilt der Kosinussatz. Kannst du ihn herleiten? Das nachfolgende Applet zeigt dies Schritt für Schritt:
Originallink https://www.geogebra.org/m/zyafbyhq

GeoGebra
Kosinussatz (für allgemeine Dreiecke)
Allgemeines Dreieck (farbig).png
In jedem Dreieck ABC gilt:
  • a² = b² + c² - 2bc·cosα
  • b² = a² + c² - 2ac·cosβ
  • c² = a² + b² - 2ab·cosγ
Kosinussatz: Übungsaufgabe
Kosinussatz Aufgabe.png
In einem Dreieck sind die Längen der Seite a = 4cm und b = 6cm und der Winkel γ = 58° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.

Setze die gegebenen Größen in den Kosinussatz ein:
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
c² = 4² + 6² - 2·4·6·cos(58°)
c² ≈ 26,56 |:

c ≈ 5,15(cm)