Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen

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Quadratische Funktionen - Startseite

1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen

7 Nullstellen quadratischer Funktionen

Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.

Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.

Einstieg: Anwendung Reichstag

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet f(x) = -0,05875x² + 23,5.

• Welche Form hat diese Parabelgleichung und warum?
• Stellt verschiedene Fragen an das Foto, die mithilfe der Parabelgleichung beantwortet werden können.

Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. Passen die Zahlen für a und c zum Bild?

Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c.
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.

Fragen:

• Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags?
  
• Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel?
  
• ...

Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Diese besonderen Stellen heißen Nullstellen der Funktion.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen Nullstellen,
denn y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(x_N|0)

Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer f(x) = 0 !!

7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen

Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen.
Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:

Übung 1: Anzahl der Nullstellen

Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.

Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:

keine	f(x) = x² + 3	f(x) = -2x² - 5	f(x) = (x+2)² + 1
eine	f(x) = x²	f(x) = (x - 4)²	f(x) = -(x+2)²
zwei	f(x) = x² - 3	f(x) = -2x² + 5	f(x) = (x+2)² - 1

7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen.
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein:

f(x) = 0

-0,05875x² + 23,5 = 0   |-23,5
-0,05875x² = -23,5        |:(-0,05875)
x² = 400                            |$\surd$
x₁ = - $\sqrt{400}$ und x₂ = + $\sqrt{400}$
x₁ = -20 und x₂ = +20

Die Nullstellen lauten also N₁(-20|0) und N₂(20|0).
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.

Beispielrechnungen für Nullstellenberechnungen

Übertrage die nachfolgenden Beispiele zur Nullstellenbrechnung in dein Heft.

1. Form: f(x) = ax²
Beispiel: f(x) = 3x²
f(x) = 0
3x² = 0    |:3
x² = 0    |$\surd$
x = 0
N(0|0)

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

2. Form: f(x) = ax² + c

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8

f(x) = 0
0,5x² - 8 = 0    |+8
0,5x² = 8      |:0,5
x² = 16         |$\surd$
x₁ = - $\sqrt{16}$ und x₂ = + $\sqrt{16}$
x₁ = -4 und x₂ = +4
N₁(-4|0) und N₂(4|0)

3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18

f(x) = 0
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18
2(x + 2)² = 18    |:2
(x + 2)² = 9        |$\surd$
x₁ + 2 = - $\sqrt{9}$    und x₂ + 2 = + $\sqrt{9}$
x₁ + 2 = -3 und x₂ + 2 = 3     |-2
x₁ = - 3 - 2    und x₂ = + 3 - 2
x₁ = -5 und x₂ = 1
N₁(-5|0) und N₂(1|0)

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

Übung 2

Berechne jeweils die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.

• S. 21 Nr. 3a-d
• S. 21 Nr. 4 (Löse mit GeoGebra und rechnerisch!)
• S. 21 Nr. 5

Verbergen

Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3:
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1.
Nullstellen: f(x) = 0
...

Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!

Übung 3

Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.

• S. 21 Nr. 2
• S. 21 Nr. 3 e-h

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung
f(x) = x² + 6x + 9   | 1. binomische Formel
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0)
Nullstellen: f(x) = 0
(x + 3)² = 0   |$\surd$
x + 3 = 0    |-3 x = -3
N(-3|0)

Die Parabel ist nur in Richtung der x-Achse verschoben, daher liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist also die Nullstelle.

Übung 4

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.

• S. 22 Nr. 8
• S. 22 Nr. 12

IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)