Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | ||
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[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br> | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br> | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]] | [[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}} | ||
===6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen=== | ===6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen=== | ||
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(x + <math>\tfrac{3}{2}</math>)² = x² + 3x + <math>\tfrac{9}{4}</math><br> | (x + <math>\tfrac{3}{2}</math>)² = x² + 3x + <math>\tfrac{9}{4}</math><br> | ||
(x + 1,5)² = x² + 3x + 2,25|2=Tipps zu S. 18 Nr. 7|3=Verbergen}} | (x + 1,5)² = x² + 3x + 2,25|2=Tipps zu S. 18 Nr. 7|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt der Graphen im Schaubild ab, stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | {{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt der Graphen im Schaubild ab, stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der <br> Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | ||
a) S(1|-2),<br> | a) S(1|-2),<br> | ||
also ist f(x) = (x - 1)² - 2<br> | also ist f(x) = (x - 1)² - 2<br> | ||
umformen: f(x) = (x - 1)² - 2<br> | umformen: f(x) = (x - 1)² - 2<br> | ||
= x² - 2x + 1 - 2<br> | = x² - 2x + 1 - 2<br> | ||
= x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).|2=Tipp zu S. 18 Nr. 8|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?|2=Tipp1 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | = x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).|2=Tipp zu S. 18 Nr. 8|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?|2=Tipp1 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | {{Lösung versteckt|1= Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | ||
a) S(2|1),<br> | a) S(2|1),<br> | ||
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*Bearbeite Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.<br> | *Bearbeite Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du sicher beim Fakorisieren mit den binomischen Formeln bist.<br> | ||
*Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | *Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/wQbBAyjZ | |||
<ggb_applet id="FdTpkrxd" width="470" height="315" border="888888" /><br> | <ggb_applet id="FdTpkrxd" width="470" height="315" border="888888" /><br> | ||
Applet von Reiner Hartl<br> | Applet von Reiner Hartl<br> | ||
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{{Box|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform|2= Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform. Welches Problem stellt sich, wenn du hier mithilfe der 1. binomischen Formel faktorisieren möchtest?<br> | {{Box|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform|2= Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform. Welches Problem stellt sich, wenn du hier mithilfe der 1. binomischen Formel faktorisieren möchtest?<br> | ||
f(x) = x² + | f(x) = x² + 8x + 7<br> | ||
Diskutiere mit deinem Parter/deiner Parterin.<br> | Diskutiere mit deinem Parter/deiner Parterin.<br> | ||
Habt ihr Lösungsvorschläge? |3=Meinung}} | Habt ihr Lösungsvorschläge? |3=Meinung}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Problem ist nun, dass hier die Zahl " | {{Lösung versteckt|1=Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "+7" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 8x + ... "passt".<br> | ||
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?<br> | Welche Zahl "wünschst" du dir hier?<br> | ||
x² + | x² + 8x '''+ 16''', denn dies ist faktorisiert (x+4)²<br> | ||
Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!|2=Welches Problem stellt sich?|3=Verbergen}} | Diese Methode heißt "quadratische Ergänzung". Erkläre!|2=Welches Problem stellt sich?|3=Verbergen}} | ||
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[[Datei:Person rot Flipchart.jpg|rahmenlos|145x145px]] Lisa:<br> | [[Datei:Person rot Flipchart.jpg|rahmenlos|145x145px]] Lisa:<br> | ||
Normalform:<br> | Normalform:<br> | ||
f(x) = x² + | f(x) = x² + 8x + 7 |-7<br> | ||
f(x) - | f(x) - 7 = x² + 8x |<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +4²</span><br> | ||
f(x) - | f(x) - 7 + <span style="color:red"> 4²</span> = x² + 8x + <span style="color:red">4²</span><br> | ||
f(x) | f(x) + 9= (x + 4)² |-9<br> | ||
f(x) = (x+ | f(x) = (x+4)² - 9<br> | ||
Scheitelpunktform: f(x) = (x+ | Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-9).</div> | ||
<div class="width-1-2"> | <div class="width-1-2"> | ||
[[Datei:Person blau Flipchart.jpg|rahmenlos|139x139px]] Tim<br> | [[Datei:Person blau Flipchart.jpg|rahmenlos|139x139px]] Tim<br> | ||
Normalform:<br> | Normalform:<br> | ||
f(x) = x² + | f(x) = x² + 8x + 7 |<span style="color:red">quadratische Ergänzung: +4²</span><br> | ||
f(x) = x² + | f(x) = x² + 8x <span style="color:red"> + 4² - 4²</span> + 7<br> | ||
f(x) = (x + | f(x) = (x + 4)² -16 + 7<br> | ||
f(x) = (x+ | f(x) = (x+4)² - 9<br> | ||
Scheitelpunktform: f(x) = (x+ | Scheitelpunktform: f(x) = (x+4)² - 9, also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-9). | ||
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{{Lösung versteckt|1={{LearningApp|app=poo1rb44521|width=100%|height=600px}} | {{Lösung versteckt|1={{LearningApp|app=poo1rb44521|width=100%|height=600px}} | ||
{{LearningApp|app=pt8j7tg8c21|width=100%|height=600px}} | {{LearningApp|app=pt8j7tg8c21|width=100%|height=600px}} | ||
{{LearningApp|app=ppy4yyejc21|width=100px|height=600px}}|2=Hilfe zu Nr. 2 (Reihenfolge der Lösungsschritte)|3=Verbergen}} | {{LearningApp|app=ppy4yyejc21|width=100px|height=600px}} | ||
|2=Hilfe zu Nr. 2 (Reihenfolge der Lösungsschritte)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Ausführliche Lösungen:<br> | {{Lösung versteckt|Ausführliche Lösungen:<br> | ||
[[Datei:SP 10 S.17 Nr. Lösungena-c.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br> | [[Datei:SP 10 S.17 Nr. Lösungena-c.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br> | ||
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{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ps5d7rotk20|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 5 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=ps5d7rotk20|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 5 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|{{LearningApp|app=pkgnxtwit23|width=100%|height=600px}}|Hilfe zu Nr. 11 (quadratische Ergänzung)|Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 8: Aufgaben erfinden |1. Einzelarbeit | {{Box|Übung 8: Aufgaben erfinden |1. Einzelarbeit | ||
Zeile 210: | Zeile 214: | ||
{{Lösung versteckt|1=Klammere den Faktor a = -0,25 aus.<br> | {{Lösung versteckt|1=Klammere den Faktor a = -0,25 aus.<br> | ||
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25<br> | f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25<br> | ||
=0,25 (x² - 8x - 4) | <span style="color:red">q E <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2 = 4^2</math></span><br> | =-0,25 (x² - 8x - 4) | <span style="color:red">q E <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2 = 4^2</math></span><br> | ||
= -0,25 (x² - 8x + <span style="color:red">4² - 4²</span> - 4) |Faktorisiere <br> | = -0,25 (x² - 8x + <span style="color:red">4² - 4²</span> - 4) |Faktorisiere <br> | ||
= -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) |fasse zusammen<br> | = -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) |fasse zusammen<br> | ||
= 0,25 ((x - 4)² - 20) |ausmultiplizieren<br> | = -0,25 ((x - 4)² - 20) |ausmultiplizieren<br> | ||
= -0,25 (x - 4)² + 5 <br> | = -0,25 (x - 4)² + 5 <br> | ||
Scheitelpunkt S(4|5)<br>|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | Scheitelpunkt S(4|5)<br>|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | ||
Zeile 219: | Zeile 223: | ||
{{Box|1=Übung 9: Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform|2=Wandle die Funktionsgleichungen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt ab. Handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt?<br> | {{Box|1=Übung 9: Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform|2=Wandle die Funktionsgleichungen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt ab. Handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt?<br> | ||
a) f(x) = 2x² + 4x + 2<br> | a) f(x) = 2x² + 4x + 2<br> | ||
b) f(x) -0,3x² + 0,9x + 1,2<br> | b) f(x)= -0,3x² + 0,9x + 1,2<br> | ||
c) f(x) = 0,5x² + 7x<br> | c) f(x) = 0,5x² + 7x<br> | ||
Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.|3=Üben}} | Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.|3=Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen: | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen: | ||
[[Datei: | [[Datei:Allgemeine Form - Scheitelpunktform Beispiele Lösung.jpg|rahmenlos|775x775px]] | ||
|Vergleiche deine Rechnungen|Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 10 - online: allgemeine Form -> Scheitelpunktform|Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast. | {{Box|Übung 10 - online: allgemeine Form -> Scheitelpunktform|Löse so viele Aufgaben, bis zu mindestens 300 Punkte gesammelt hast. |
Aktuelle Version vom 20. Oktober 2023, 07:02 Uhr
1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen
6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form
Scheitelpunktform:
f(x) = (x+3)² - 4 |Klammer auflösen: 1. binomische Formel
= x² + 6x + 9 - 4 |zusammenfassen
= x² + 6x + 5
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5
Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
Übe die Quadratzahlen:
Applet von Tinwing
Tipp: Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
a) Tipp: (x+4)² = x² + 8x + 16,
also ist f(x) = (x+4)² + 7
= x² + 8x + 16 + 7
= x² + 8x + 23
b) Tipp: (x-5)² = x² - 10x + 25, also...
c) Tipp: (x-6)² = x² - 12x + 36
Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
(x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25
(x + )² = x² + 3x +
Lies den Scheitelpunkt der Graphen im Schaubild ab, stelle die zugehörige Funktionsgleichung in der
Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(1|-2),
also ist f(x) = (x - 1)² - 2
umformen: f(x) = (x - 1)² - 2
= x² - 2x + 1 - 2
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(2|1),
also ist f(x) = (x - 2)² + 1
umformen: f(x) = (x - 2)² +1
= x² - 4x + 4 + 1
6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Normalform:
f(x) = x² + 6x + 9 |Faktorisieren: 1. binomische Formel
= (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²
Originallink https://www.geogebra.org/m/wQbBAyjZ
Applet von Reiner Hartl
Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "+7" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 8x + ... "passt".
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?
x² + 8x + 16, denn dies ist faktorisiert (x+4)²
6.3 Von der allgemeinen Form quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktform
Sind Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c gegeben, kann auch hier mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunkform f(x) = a (x + d)² + e umgeformt und der Scheitelpunkt S(-d|e)abgelesen werden.
Tipp: Klammere den Faktor a zunächst aus und gehe dann wie geübt vor.
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=0,25 (x² - 8x - 4) | q E
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=-0,25 (x² - 8x - 4) | q E
= -0,25 (x² - 8x + 4² - 4² - 4) |Faktorisiere
= -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) |fasse zusammen
= -0,25 ((x - 4)² - 20) |ausmultiplizieren
= -0,25 (x - 4)² + 5
IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)