Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform: Unterschied zwischen den Versionen
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= x² + 6x + 5<br> | = x² + 6x + 5<br> | ||
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5<br> | Normalform: f(x) = x² + 6x + 5<br> | ||
{{Box|1=Wiederholung: 1. und 2. binomische Formel|2=1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²<br>Beispiel: (x+7)² = x² + 14x + 49<br> | |||
2. binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²<br> | |||
Beispiel: (x - 1,5)² = x² - 3x + 2,25<br> | |||
Kannst du noch die Quadratzahlen bis 25 auswendig? (Tipp unten)|3=Unterrichtsidee}} | |||
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|800|center}}|2=Song Binomische Formeln|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|800|center}}|2=Song Binomische Formeln|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Quadratzahlen:<br> | |||
11² = 121<br> | |||
12² = 144<br> | |||
13² = 169<br> | |||
14² = 196<br> | |||
15² = 225<br> | |||
16² = 256<br> | |||
17² = 289<br> | |||
18² = 324<br> | |||
19² = 361<br> | |||
20² = 400<br> | |||
25² = 625|2=Tipp Quadratzahlen (Lerne sie auswendig!)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Übe die Quadratzahlen: | |||
{{LearningApp|app=pwbnw837j19|weidth=100%|height=800px}}|2=Übung zu den Quadratzahlen|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online|Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.|Üben}} | {{Box|Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur Normalform - online|Löse so viele Aufgaben des nachfolgenden Applets, bis du dich beim Umwandeln sicher fühlst. Die Tipps helfen dir Schritt für Schritt zur Lösung.|Üben}} | ||
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umformen: f(x) = (x - 1)² - 2<br> | umformen: f(x) = (x - 1)² - 2<br> | ||
= x² - 2x + 1 - 2<br> | = x² - 2x + 1 - 2<br> | ||
= x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).|2=Tipp zu S. 18 Nr. 8|3=Verbergen}} | = x² - 2x - 1, also gehört (A) zu c).|2=Tipp zu S. 18 Nr. 8|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?|2=Tipp1 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Stelle im Applet oben die Scheitelpunktform passend zum gegebenen Scheitelpunkt ein und prüfe dein Ergebnis, indem du p und q in der Normalform einstellst. Wird dieselbe Parabel gezeichnet?|2=Tipp1 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | {{Lösung versteckt|1= Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.<br> | ||
a) S(2|1),<br> | a) S(2|1),<br> | ||
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{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen: | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen: | ||
[[Datei:Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.jpg|rahmenlos|775x775px]]|Vergleiche deine Rechnungen|Verbergen}} | [[Datei:Von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.jpg|rahmenlos|775x775px]]|Vergleiche deine Rechnungen|Verbergen}} | ||
Version vom 11. Oktober 2021, 18:13 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen
6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form
Scheitelpunktform:
f(x) = (x+3)² - 4 |Klammer auflösen: 1. binomische Formel
= x² + 6x + 9 - 4 |zusammenfassen
= x² + 6x + 5
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5
Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
Übe die Quadratzahlen:
Applet von Tinwing
Tipp: Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
a) Tipp: (x+4)² = x² + 8x + 16, also ist f(x) = x² + 8x + 23
b) Tipp: (x-5)² = x² - 10x + 25, also...
c) Tipp: (x-6)² = x² - 12x + 36
Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
(x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25
(x + )² = x² + 3x +
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(2|1),
also ist f(x) = (x - 2)² + 1
umformen: f(x) = (x - 2)² +1
= x² - 4x + 4 + 1
6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Normalform:
f(x) = x² + 6x + 9 |Faktorisieren: 1. binomische Formel
= (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²
Applet von Reiner Hartl
Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "-3" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 2x + ... "passt".
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?
x² + 2x + 1, denn dies ist faktorisiert (x+1)²
6.3 Von der allgemeinen Form quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktform
Sind Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c gegeben, kann auch hier mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunkform f(x) = a (x + d)² + e umgeformt und der Scheitelpunkt S(-d|e)abgelesen werden.
Tipp: Klammere den Faktor a zunächst aus und gehe dann wie geübt vor.
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=0,25 (x² - 8x - 4) | q E
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=0,25 (x² - 8x - 4) | q E
= -0,25 (x² - 8x + 4² - 4² - 4) |Faktorisiere
= -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) |fasse zusammen
= 0,25 ((x - 4)² - 20) |ausmultiplizieren
= -0,25 (x - 4)² + 5
IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)