Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q|2=Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben | {{Box|1=Die Normalform quadratischer Gleichungen f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Gleichungen f(x) = ax² + bx + c|2=Die quadratischen Funktionen der Form f(x) = x² + px + q haben die verschobene Normalparabel als Graphen. <br> | ||
Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c haben Parabeln als Graphen. Wandeln wir die Normalform bzw. die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um, so lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.|3=Arbeitsmethode}} | |||
===6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform=== | ===6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form=== | ||
{{Box|1=Eine Parabel, zwei Gleichungen|2=Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und p=6; q=5. Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.|3=Meinung}} | {{Box|1=Eine Parabel, zwei Gleichungen|2=Stelle im Applet die Schieberegler so ein, dass die Graphen identisch sind. Z.B. d=-3; e=-4 und p=6; q=5. Begründe rechnerisch, dass die Gleichungen dieselbe Parabel beschreiben.|3=Meinung}} | ||
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= x² - 4x + 4 + 1<br> | = x² - 4x + 4 + 1<br> | ||
= x² - 4x +5|2=Tipp 2 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | = x² - 4x +5|2=Tipp 2 zu S. 18 Nr. 10|3=Verbergen}} | ||
{{Box|1=Von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form|2=Forme die Funktionsgleichung der Funktion in der Scheitelpunktform in die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c um.<br> | |||
Beispiel: <br> | |||
f(x) = 2(x+2)² - 1 |1. binomische Formel anwenden<br> | |||
= 2(x² + 4x + 4) - 1 |ausmultiplizieren [[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|100x100px]]<br> | |||
= 2x² + 8x + 8 - 1<br> | |||
= 2x² + 8x + 7<br> | |||
a) f(x) = 2(x-1)² + 0,5<br> | |||
b) f(x) = -0,2(x + 3)² + 4 | |||
c) f(x) = 0,5(x - 4)² - 6|3=Üben}} | |||
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= -0,25 (x - 4)² + 5 <br> | = -0,25 (x - 4)² + 5 <br> | ||
Scheitelpunkt S(4|5)<br>|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | Scheitelpunkt S(4|5)<br>|2=Tipp 3|3=Verbergen}} | ||
Version vom 26. September 2021, 17:43 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1 Quadratische Funktionen entdecken
2 Die Normalparabel f(x) = x²
3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²
4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c
5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e
6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
6 Die Normalform und die allgemeine Form quadratischer Funktionen
6.1 Von der Scheitelpunkform in die Normalform bzw. in die allgemeine Form
Scheitelpunktform:
f(x) = (x+3)² - 4 |Klammer auflösen: 1. binomische Formel
= x² + 6x + 9 - 4 |zusammenfassen
= x² + 6x + 5
Normalform: f(x) = x² + 6x + 5
Applet von Tinwing
Tipp: Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
a) Tipp: (x+4)² = x² + 8x + 16, also ist f(x) = x² + 8x + 23
b) Tipp: (x-5)² = x² - 10x + 25, also...
c) Tipp: (x-6)² = x² - 12x + 36
Löse mithilfe der 1. bzw. 2. binomischen Formel die Klammer auf und fasse zusammen zur Form f(x) = x² + px + q.
(x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25
(x + )² = x² + 3x +
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes S die zugehörige Funktionsgleichung in der Scheitelpunkform f(x) = (x + d)² + e auf. Forme anschließend die Scheitelpunkform in die Normalform um und ordne die passende Funktionsgleichung zu.
a) S(2|1),
also ist f(x) = (x - 2)² + 1
umformen: f(x) = (x - 2)² +1
= x² - 4x + 4 + 1
6.2 Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Normalform:
f(x) = x² + 6x + 9 |Faktorisieren: 1. binomische Formel
= (x+3)²
Scheitelpunktform: f(x) = (x+3)²
Applet von Reiner Hartl
Das Problem ist nun, dass hier die Zahl "-3" nicht zur 1. binomischen Formel x² + 2x + ... "passt".
Welche Zahl "wünschst" du dir hier?
x² + 2x + 1, denn dies ist faktorisiert (x+1)²
6.3 Die allgemeine Form quadratischer Funktionen
Sind Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen in der allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c gegeben, kann auch hier mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunkform f(x) = a (x + d)² + e umgeformt und der Scheitelpunkt S(-d|e)abgelesen werden.
Tipp: Klammere den Faktor a zunächst aus und gehe dann wie geübt vor.
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=0,25 (x² - 8x - 4) | q E
Klammere den Faktor a = -0,25 aus.
f(x) = -0,25x² + 2x + 1 |Teile jeden Summanden durch -0,25
=0,25 (x² - 8x - 4) | q E
= -0,25 (x² - 8x + 4² - 4² - 4) |Faktorisiere
= -0,25 ((x - 4)² - 16 - 4) |fasse zusammen
= 0,25 ((x - 4)² - 20) |ausmultiplizieren
= -0,25 (x - 4)² + 5
7 Nullstellen quadratischer Funktionen
8 Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen
IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten)