Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche

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Kreis und Zylinder - Startseite

1 Kreisumfang
2 Kreisfläche

Kreisfläche A

Pizza - mini oder maxi

In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten:

Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,

der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.

Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €

Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.

Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?

Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.

Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.

Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.

2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel

Kreisfläche - Herleitung der Formel

Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch.


a) Beschreibe, was geschieht.
b) Welche Figur entsteht?

c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.

Applet von Anthony Or. Education Bureau

Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?

Applet von R. Schmidt

Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=$\tfrac{u}{2}$ (halber Umfang) und b = r (Radius)

Also gilt:
A = a·b   | Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.
   = $\tfrac{u}{2}$ · r   | Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.
   = $\tfrac{2πr}{2}$ · r   | Kürze mit 2.
   = πr · r   | Fasse r·r zusammen.

   = π·r²

Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:

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Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:
Beschreibe!

Kreisfläche - Formel

Den Flächeninhalt A eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:

A = π r²

Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =$\tfrac{d}{2}$.

Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:

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2.2 Kreisfläche - Berechnungen

Kreisfläche - Formel umstellen

Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises
A = π·r² nach r um.

Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.

Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:

Beispiele:

Fläche A berechnen:

geg: r = 3,0 cm
ges: A
A = π · r²   |Wert einsetzen
   = π · 3,0²

   = 28,27 (cm²)

geg: d = 5,0 cm
ges: A
r = $\tfrac{d}{2}$ = $\tfrac{5}{2}$ = 2,5 (cm)
A = π · r²   |Wert einsetzen
   = π · 2,5²

   = 19,63 (cm²)

Radius r berechnen:

geg: A = 7,0 cm²
ges: r
A = π · r²   |: π
$\tfrac{A}{\pi}$ = r2   |$\surd$
$\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}$ = r &nbap; |Wert einsetzen
$\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}$ = r
1,5 (cm) ≈ r

Durchmesser d berechnen:

geg: A = 18,10 cm²
ges: d
d = 2·r; Berechne zunächst r:
A = π · r²   |: π
$\tfrac{A}{\pi}$ = r2   |$\surd$
$\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}$ = r &nbap; |Wert einsetzen
$\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}$ = r
2,4 (cm) ≈ r

d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)

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Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 1
• 2
• 3
• 4

Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

• S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgaben aus.)
• S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
• S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)
• S. 132 Nr. 4

Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt

Ergänze die Tabelle.

Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.

Radius r und Umfang u:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannverdoppelt, verdreifacht, vervierfacht sich der Umfang u.
Radius r und Flächeninhalt A:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannvervierfacht, verneunfacht, versechzehnfacht sich der Flächeninhalt A.

Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:

2.3 Kreisfläche - Anwendungen

Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?

Geometrische Anwendungen

Übung 4 - Geometrische Anwendungen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.

• S. 132 Nr. 6
• S. 132 Nr. 8

Umfang u: Die Ameise läuft außen um die Figur herum. Addiere die Teilstrecken.
Flächeninhalt A: Male die Fläche innen drin aus.

Zerlege die Figur in Teilflächen A₁, A₂,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.

Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn

Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.
Berechne den Umfang des Halbkreises: u_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$·u_Kreis = $\tfrac{1}{2}$·2·π·r = π·r

Lösung: u = 9,1cm

Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A ₁und dem Flächeninhalt des Halbreises A₂.
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A₂ = A_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$·A_Kreis = $\tfrac{1}{2}$·π·r².

Lösung: 5,57cm²

Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:
Umfang u:
u_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$·u_Kreis
   = $\tfrac{1}{2}$·2·π·r
   = π·r
   = π·1
   = 3,14 (cm)
u_gesamt = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)

Flächeninhalt A:

A₁ = A_Quadrat
   = 2²

   = 4 (cm²)

A₂ = A_Halbkreis
   = $\tfrac{1}{2}$·A_Kreis
   = $\tfrac{1}{2}$·π·r²
   = $\tfrac{1}{2}$·π·1²

   = 1,57 (cm²)

A_gesamt = A₁ + A₂
   = 4 + 1,57

   = 5,57 (cm²)

Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm.
Lösung: u = 41,1 cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.

Lösung: A = 66,3 cm²

Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.

Lösung: u = 11,9cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A₁ des Dreiecks und dem Flächeninhalt A₂ des Halbkreises.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.

Lösung: A_gesamt = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)

Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises.
Radius r = 12:4 = 3 (cm)
Lösung: u = 35,8 (cm)

Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)

Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig.
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)

Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²

Übung 5 - Geometrische Anwendungen

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 12
• 13
• 14
• 18

Sachsituationen

Übung 6 - Sachsituationen

Löse so viele Aufgaben aus dem Buch, dass du mindestes 6 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Wähle Au Prüfe deine Lösungen und hake ab.

• S. 133 Nr. 10 (*)
• S. 134 Nr. 16 (*)
• S. 134 Nr. 17 (**)
• S. 134 Nr. 18 (*)
• S. 134 Nr. 20 (*)
• S. 134 Nr. 21 (**)