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Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht

1.1) Was ist eine Gleichung
1.2) Gleichungen lösen durch Probieren
2) Gleichungen lösen durch Umformen
3) Gleichungen mit Klammern

4) Anwendungsaufgaben

Neue Idee (12/2022): Buch zu Gleichungen des FLINK-Teams auf GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/dqp5fzgz

1.1 Was ist eine Gleichung?

Kennst du eine Balkenwaage z.B. aus dem Physikunterricht oder vom Markt?
oder

Diese Waagen sind im Gleichgewicht, wenn das Gewicht auf beiden Seiten der Waage gleich groß ist.
In der Mathematik liegt auf jeder Seite der Waage ein Term (Rechenausdruck). Das Gleichgewicht stellen wir mit einem Gleichheitszeichen dar.

Was ist eine Gleichung?

In einer Gleichung werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden.

Du kennst Terme (Rechenausdrücke) aus dem vorangegangenen Kapitel. Nun verbindest du zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen. Damit erhältst du eine Gleichung.

Übung 1

Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine Gleichung handelt oder nicht.

Ziel ist es, für die Variablen genau die Zahl zu finden, sodass auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht. Dann ist die Waage im Gleichgewicht.
In jeder Tüte befinden sich gleich viele Klötzchen (x Stück).
Wie viele Klötzchen befinden sich in jeder Tüte, damit die Waage im Gleichgewicht ist?

Übung 1 - Gleichungen aufstellen mithilfe des Waagemodells

Welche Gleichung ist dargestellt? Bearbeite das nachfolgende GeoGebra-Applet.

Applet von Brigit Lachner https://www.geogebra.org/m/rd3mk2h9

1.2 Lösen durch Probieren

Idee

Die Tüten müssen mit gleich vielen Klötzchen befüllt werden. Probiere aus.

Gib die passende Gleichung für diese Situation und die Lösung an.

Tütengleichungen

a) Lege die Gleichung 5 + x = 8 mit dem Material nach und zeichne die Situation in dein Heft. Wie viele Klötzchen müssen dann in der Tüte liegen. Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.
b) Lege die Gleichung 2·x + 4 = 10 mit dem Material nach. Wie viele Klötzchen müssen in einer Tüte sein, wenn sich in jeder Tüte gleich viele Klötzchen befinden müssen? Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.

c) Erkläre und begründe, wie du vorgegangen bist.

Übung 2 - Tütengleichungen

Löse die nachfolgende LearningApp. Wenn du magst, kannst du die Situationen mit dem Material nachlegen.

Übung 3

Erfinde Tütengleichungen und lass sie von deinem Sitznachbarn lösen.
Material: Holzwürfel und Brottüten

Notiert die Gleichungen und die zugehörige Lösung im Heft.

Du kannst die Gleichungen auch in der Simulation auf der Seite phet.colorado.edu nachstellen und deine Lösung prüfen.
Wähle dazu die Simulation VARIABLEN, stelle die Gleichung nach und prüfe deine Lösung, indem du für x den entsprechenden Wert einstellst (oben rechts).

Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib jeweils die Gleichung und die zugehörige Lösung an. Wenn nötig, stelle die Situationen mit Tüten und Klötzchen nach.

• S. 115 Nr. 3
• S. 115 Nr. 4

Idee

Notiere eine Gleichung zur dargestellten Situation.

Setzte nun nacheinander für x die Werte ab 1 ein, finde so die richtige Lösung. (Probiere also aus, ob 1 Klötzchen in jeder Tüte sein kann oder 2 oder 3 oder ...)

x (Wert)	Gleichung x + 7 = 2·x + 1	Lösung (Ja/Nein)
1	1 + 7 = 2·1 + 1 8 = 3 (f)	Nein
2	2 + 7 = 2·2 + 1 9 = 5 (f)	Nein
3	...	...
...	...	...

Du setzt die Werte für x immer anstelle der Variablen ein. Dann rechnest du die beiden Seiten der Gleichung aus und prüfst, ob sie denselben Wert haben. Wenn dies der Fall ist, hast du die Lösung der Gleichung gefunden.
Beispiel:
x + 7 = 2·x + 1 für x = 2
2 + 7 = 2·2 + 1
9 = 5 (f)

Die 2 ist also NICHT Lösung der Gleichung.

Lösung der Gleichung:
x = 6, denn
x + 7 = 2·x + 1 für x = 6
6 + 7 = 2·6 + 1

13 = 13 (w)

Lösung einer Gleichung

Eine Zahl ist die Lösung einer Gleichung, wenn beim Einsetzen dieser Zahl die beiden Terme den gleichen Wert haben. Es entsteht also eine wahre Aussage.

Die Lösung einer Gleichung kann durch Probieren bestimmt werden: Setze dazu für x verschiedene Zahlen ein. Prüfe, ob eine wahre (w) oder falsche (f ) Aussage entsteht.

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Übung 5 - Lösen durch Probieren

Löse die nachfolgende LearningApp. Setze für x die angegebenen Zahlen ein und prüfe, ob eine wahre(w) oder falsche(f) Aussage entsteht. Gib dann die Lösung der Gleichung an.

Übung 6

Prüfe, ob die angegebene Zahl die Lösung der Gleichung ist.

Übung 7

Löse die Aufgabe aus dem Buch und die anschließende Aufgabe.

• S. 116 Nr. 8 Schreibe die Gleichung in dein Heft und löse durch Probieren, indem du für x die angegebenen Werte einsetzt.
• Finde jeweils zwei Gleichungen mit der Lösung x = 2.

Schreibweise:
a) 7·x + 4 = 8·x
für x = 2 gilt 7·2 + 4 = 8·2
                             18 = 16 (f)
für x = 8 gilt 7·8 + 4 = 8·8
                             60 = 64 (f)
für x = 4 gilt 7·4 + 4 = 8·4
                             32 = 32 (w), also ist x = 4 die Lösung der Gleichung.

b) ...

Übung 8

Löse in der nachfolgenden LearningApp die Gleichung durch Probieren im Kopf.

Idee

Löse die Gleichung 4x + 98 = 6x durch Probieren.
Nutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm.

Du kannst z.B. im Office-Modul in IServ eine Office-Kalkulation erstellen.

Du benötigst 3 Spalten:
Spalte A: Werte von x; Spalte B: Wert der linken Seite der Gleichung; Spalte C: Wert der rechten Seite der Gleichung

Die Lösung der Gleichung ist der Wert für x, bei dem die Werte der linken und rechten Seite der Gleichung übereinstimmen.

Lösung:

Hast du noch Schwierigkeiten? Dann schau hier, wie du die Tabelle Schritt für Schritt im Office-Modul in IServ erstellen kannst:

Übung 9 - Lösen mit einer Tabellenkalkulation

Löse die Aufgaben aus dem Buch mit einer Tabellenkalkulation. Lade deine Datei im Modul Aufgaben hoch.

• S. 116 Nr. 7
• S. 116 Nr. 11

Du findest ein vorbereitetes Tabellenblatt in deinem Klassenordner Fach Mathematik auf IServ. Kopiere dies, nutze es und speichere es mit deinem Namen.

1.3 Anwendungsaufgaben

Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen Anwendung finden:

Mathematische Texte

Vorübung: Mathematische Texte

Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz

Addition: 1. Summand + 2. Summand = Wert derSumme
Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Wert der Differenz
Multiplikation: 1. Faktor ∙ 2. Faktor = Wert des Produktes
Division: Dividend: Divisor = Wert des Quotienten

Addition	addieren	vermehren	plus
Subtraktion	subtrahieren	vermindern	minus
Multiplikation	multiplizieren	verdoppeln	vervielfachen	mal
Division	dividieren	halbieren	teilen	geteilt

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

Applet des FLINK-Teams Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/dpykmkvj

Übung 10

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.

• S. 115 Nr. 5
• Formuliere zu einer Tütengleichung einen passenden Text. Lass deinen Parter/deine Partnerin diese Aufgabe lösen.

Geometrische Anwendungen

Vorübung: Geometrische Anwendungen

Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.

Quadrat		u = 4·a	A = a²
Rechteck		u = 2a + 2b	A = a·b
gleichschenkliges Dreieck		u = 2a + c	2 gleich lange Seiten	α+β+γ=180°
gleichseitiges Dreieck		u = 3a	3 gleich lange Seiten	α+β+γ=180°

Übung 11

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.

• S. 116 Nr. 13

Der Umfang jeder Figur soll 56 cm betragen. Umfang bedeutet "drum herum", die Ameise läuft einmal um die Figur herum.

Prüfe deine Lösung:

Prüfe deine Lösung:

Prüfe deine Lösung:

Sachsituationen

Vorübung: Sachsituationen

Ordne in der nachfolgenden LearningApp den Termen die passende Bedeutung zu.

Übung 12

Löse die folgenden Übungen des FLINK-Teams auf GeoGebra. Die Originallinks befinden sich jeweils unter den Applets.

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/qwhw9pt6

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/mda6rhc7

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/gepj3wac

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/juuhvhvb

In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text genau liest, dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.

Übung 13

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.

• S. 115 Nr. 6 a-d

Der Text enthält Informationen über die Anzahl von Mädchen und Jungen. Die Anzahl der Mädchen wird verglichen mit der Anzahl der Jungen. Wähle daher als Bedeutung der Variablen x die Anzahl der Jungen.
Anzahl der Jungen: x

Anzahl der Mädchen: ...

Der Text enthält Informationen zur Anzahl der Jungen bzw. Mädchen. Die Anzahl der Jungen wird verglichen mit der Anzahl der Mädchen. Wähle also als Bedeutung der Variablen x die Anzahl der Mädchen.
Anzahl der Mädchen: x

Anzahl der Jungen: ...

Der Text enthält Informationen über die Länge zweier Teile einer Leiste. Das längere Stück wird mit dem kürzeren verglichen. Wähle daher als Bedeutung der Variablen x die Länge der kürzeren Leiste.

Der Text enthält Informationen zur Anzahl der geworfenen Tore. Die Anzahl von Karin wird verglichen mit der Anzahl von Sonja. Wähle also als Bedeutung der Variablen x die Anzahl der Tore von Sonja.

2) Gleichungen lösen durch Umformen