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Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht

1.1) Was ist eine Gleichung
1.2) Gleichungen lösen durch Probieren
2) Gleichungen lösen durch Umformen
3) Gleichungen mit Klammern

4) Anwendungsaufgaben

2) Gleichungen lösen durch Umformen

Zahlenzauber

Denke dir eine Zahl (zwischen 1 und 9). Verdopple sie und addiere 3. Multipliziere dann das Ergebnis mit 5 und subtrahiere schließlich 6. Nenne mir das Ergebnis und ich verrate dir deine Zahl.
Findest du den Trick heraus?

Erklärung des Tricks:

Mögliche Ergebnisse dieses Zahlenzaubers sind 19, 29, 39, 49, ...,99. Die gedachte Zahl ist jeweils die Zehner-Ziffer.
Warum? Das kannst du bald erklären...

Noch mehr Zahlenzauber-Aufgaben findest du auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 1

Du hast im letzten Kapitel Gleichungen durch Probieren gelöst. In diesem Kapitel lernst du Möglichkeiten kennen, die Gleichung durch Umformungen zu lösen. Wiederhole dazu die Vorstellungen zu Gleichungen anhand von Waagen im Gleichgewicht in der nachfolgenden LearningApp.

App von G. Plaschke

2.1 Tütengleichungen - Waagemodell

Idee

Stelle in der Simulation von PhET (Variablen) die Gleichung 4x + 5 = 13 nach.

Wie kannst du vorgehen, damit auf der Waage auf der einen Seite nur noch eine Tüte und auf der anderen Seite nur noch die passende Anzahl von Steinen liegen?

Waagemodell-Rechenoperationen

Die Bilder zeigen ein mögliches Vorgehen. Beschreibe die Rechenoperationen, die jeweils auf beiden Seiten der Gleichung (Waage) durchgeführt wurden.

Übung 1 - Tütengleichungen

Überlege dir zwei Gleichungen, die man mit den Tüten und Würfeln darstellen kann. Mach dir Notizen, damit du deine Gleichungen und die Vorgehensweise zum Lösen deinem Partner präsentieren kannst.

Hilfe zum Finden von schwierigen Gleichungen:
Gehe rückwärts vor: Die Lösung soll z.B. x = 2 sein, also sollen in einer Tüte 2 Steine liegen. Die Gleichung lautet also
x = 2
Nun ergänze auf beiden Seiten immer das Gleiche, bis eine schwierige Gleichung entstanden ist, z.B.
auf beiden Seite zwei Steine ergänzen
x+2 = 4
auf beiden Seiten ein x oder eine Tüte ergänzen
2x + 2 = x + 4
auf beiden Seiten noch eine Tüte ergänzen
3x + 2 = 2x + 4

So erhältst du eine schwierige Gleichung, die Lösung ist immer noch x = 2.

Übung 2

Öffne den Link zur Simulation zum Schulbuch. Simulation zum Buch.

Notiere jeweils die Gleichung, die dargestellt ist in dein Heft. Verändere dann beide Seiten der Gleichung so, dass du die Lösung der Gleichung (Gewicht des Würfels) angeben kannst. Notiere dazu passende Rechenoperationen in deinem Heft.

Merke

Die Darstellung zeigt die Lösung im Modell und als Gleichung.

Um eine Gleichung zu lösen darfst du auf beiden Seiten

• den gleichen Term addieren oder subtrahieren
• mit der gleichen Zahl (≠0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl (≠0) dividieren.

Dabei wird die Lösung nicht geändert.

Diese Umformungen heißen "Äquivalenzumformungen" (von lat. äqui - gleich und vale - wert sein).

Übung 3 - Waagemodell

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs mindestens 5 Beispiele. Nimm das Material und stelle die Gleichung und die Lösung als Tütengleichung nach. Notiere die Gleichung und die passende Rechenoperation zur Lösung der Aufgabe in deinem Heft.

• Nr. 25

Übung 4

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Wenn nötig, nutze das Material, stelle die Gleichung als Tütengleichung nach und löse schrittweise. Notiere passend dazu die Umformungen der Gleichung.

• S. 118 Nr. 1

Hast du deine Lösung ausführlich notiert? Vergleiche und ergänze - falls nötig.

2.2 Gleichungen mit Variablen auf einer Seite lösen

Übung 5

Löse die Übungen auf der Seite realmath. Stelle dir die Situation als Tütengleichung mit dem Waagemodell vor. Bearbeite jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

• Level 1 Waagemodell
• Level 1 Übung 1
• Level 1 Übung 2
• Level 2 Waagemodell
• Level 2 Übung
• Level 3 Waagemodell
• Level 3 Übung 1
• Level 3 Übung 2

Klicke auf das Bild, dann siehst du, wie du die Mengenklammer für die Lösung schreibst. Übe so lange, bis du diese Klammer ebenso schreiben kannst.

Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen mit Pfeilen auf beiden Seiten der Gleichung.

• S. 118 Nr. 2
• S. 118 Nr. 3
• S. 118 Nr. 4**
• S. 126 Nr. 3

Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -9; -7; -6; -5; 0; 1; 2; 6; 22; 69

Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -18; -6; -5; 0,5; 2; 2; 2; 4

x:10 = $\tfrac{x}{10}$ Forme also um mit ·10.

$\tfrac{1}{10}$x = $\tfrac{x}{10}$ Forme also um mit ·10

1 = x : $\tfrac{1}{2}$ Die Umkehraufgabe zu Division : ist die Multiplikation ·. Multipliziere also mit $\tfrac{1}{2}$

Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -49; -1; $\tfrac{1}{2}$; 20; 30; 50; 128; 250

Vergleiche deine Lösung mit den Lösungen hinten im Buch (grüne Seiten!)

Übung 7

Berechne x aus -x. Löse dazu auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 5

Gleichungen lösen - Schreibweisen

Jede Gleichung lässt sich Schritt für Schritt durch Umformungen lösen. Anstatt der Pfeile auf beiden Seiten kann man kürzer Kommandostriche schreiben und die Umformung dahinter notieren:

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Übung 8

Löse die Übungen auf den Seiten realmath und dwu Schritt für Schritt.

• Übung 1 (realmath)
• Übung 2 (realmath)
• Übung 3 (dwu)
• Übung 4 (dwu)

Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen in der Kurzschreibweise mit einem Kommandostrich, wie in der vorausgegangenen Übung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

• (S. 118, Nr. 5 = S. 126, Nr. 8)
• S. 126, Nr. 4
• S. 126, Nr. 5
• S. 126, Nr. 8
• S. 126, Nr. 9
• S. 126, Nr. 10

Schreibweise mit Kommandostrich:
a) z + 18 = 38   |-18
   z = 20

Kontrolle aller Lösungen: Addiere alle Lösungen, das Ergebnis muss 160 betragen.

Übung 10 - Fehler finden

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe dazu die Aufgabe (mit Äquivalenzumformung!) mit der richtigen Lösung in dein Heft und erläutere deinem Sitznachbarn den Fehler im Buch.

• S. 118 Nr. 6

2.3 Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Sicherlich kennst du noch die Vorrangregeln beim Berechnen von Termen:

- Punktrechnung vor
- Strichrechnung
Möchtest du nun eine Gleichung nach x auflösen, ist das Ziel, dass x "allein auf einer Seite" der Gleichung steht. Du musst also "alles, was stört auf die andere Seite bringen".

Bei den Umformungen musst du diese Reihenfolge "rückwärts" beachten:

Bringe zunächst die Terme mit Strichrechnung auf die andere Seite, dann löse die Punktrechnung auf.

Gleichungen lösen Schritt für Schritt

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Übung 11: Aufgabenset: Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Wähle aus den Aufgaben aus. Sammle mindestens 10 Sternchen.

Vergleiche deine Lösungen

x = 5; x = 4; x = -6; x = 6; x = 9; x = 2 ; x = 3 ; x = 3; x = 5/6; x = 7/4

Übung 12

Löse die Gleichungen Schritt für Schritt. Notiere jeweils die Umformungen hinter den Kommandostrichen.

• S. 119 Nr. 7 (Führe für jede Aufgabe eine Probe durch.)
• S. 126 Nr. 11 (Vergleiche mit den Lösungen hinten im Buch.)
• S. 127 Nr. 10

Um deine Lösung zu prüfen, setze deine Lösung anstelle von x in die Gleichung ein. Rechne dann die linke und die rechte Seite der Gleichung aus (nicht umformen!!). Es muss eine wahre Aussage entstehen.
Beispiel:
12x - 1 = 7x + 19   |...
...
Die Lösung für Nr. 7a) ist x = 4.
Probe:
12·4 - 1 = 7·4 + 19
48 - 1 = 28 + 19

47 = 47 (w)

Übung 13

In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)

• Übung 1
• Übung 2
• S. 119 Nr. 11
• S. 119 Nr. 12

Lösungen (unsortiert):

-3; -$\tfrac{1}{3}$; 0,2; $\tfrac{1}{2}$; 1,2; 2; 4; 8; 10; 10$\tfrac{1}{3}$

Noch mehr Übungen (mit Lösungen) findest du hier:
Mathe-Trainer: Lineare Gleichungen

3) Gleichungen mit Klammern