Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel:

4x+14x=(4+14) \cdot x=18x

.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.

Beispiel:

\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}

.

a) $23x$

b) $6y$

c)

-\frac{26}{15}x

Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)* $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, gilt für Addition) und sortiere nach den Variablen!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$ .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und anschließend das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Fasse jeweils die Terme mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel :

3x+8x+5-4=11x+1

.

Tipp 3 für c)

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c)

5y+6

Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse zusammen.

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)* $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$ .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Tipp 2 für c)

a) $209x+ 47y + 24$

b) $15x+3y+17$

c)

7x+5y+3

Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse zusammen.

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c)* $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$ ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel:

3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x

.

Tipp 2 für c)

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$ , das $y$ fällt hier weg, da $0 \cdot y = 0$ sind.

c)

4x^3

Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5\cdot(8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel:

{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8

. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

a) $40-45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c)

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}

Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x \cdot (x-15y)$

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c)

x^2-15xy

Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat $(a+b)^2$ ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate ( $a^2$ und $b^2$ ) und der beiden Rechtecke (jeweils $ab$ ).

2. Binomische Fomel:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Binomische Formel:

(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent

()^2

bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel:

(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)

.

Tipp 3

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel:

({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16

. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

Beispiel: Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 36

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c)

36f^2+12ft+t^2

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 9 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a) $9x+9y+9z$

b) $81x+45y$

c) $5x-4xy+9xz$

d) $25a-35ab+50ax$

e) $8ax+24xy+64abxz$

f) $4abx+6axy+32abxyz$

Erinnerung: Teilbarkeitsregeln

9(x+y+z)

9(9x+5y)

x(5-4y+9z)

5a(5-7b+10x)

Lösung von e)

8x(a+3y+8abz)

Lösung von f)

2ax(2b+3y+16byz)

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 10

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

x=kürzere Seite

$2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen$

$2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen$

$4 \cdot x+76=132 \quad | -76$

$4 \cdot x=56 \quad | :4$

$x=14$

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

Aufgabe 11

Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?

x=Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist $(3 \cdot x)$ das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter $(3 \cdot x-5)$ .

Also:

$x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen$

$7 \cdot x-5=100 \quad | +5$

$7 \cdot x=105 \quad | :7$

$x=15$

Peters Alter: 15

Alter von Peters Mutter: 40

Alter von Peters Vater: 45

Aufgabe 12

Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jede einzelne?

x=Anzahl der Tore von Merve

$x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen$

$2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5$

$2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5$

$x=14$

Merve: 14 Tore

Lena: 7 Tore

Marie: 9 Tore

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

$x^1=x$ .

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$ , wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.

Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen

Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

$3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x$

$\Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4$

$\Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x$

$\Leftrightarrow 12 = 2x$

\Leftrightarrow 6 = x

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 14

Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $x^2-11x+24=0$

b) $y^2+7y-8=0$

c) $z^2-20z+96=0$

d) $x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0$

Die pq-Formel

Wenn Du eine quadratische Gleichung

x^2+px+q=0

lösen willst, hilft Dir die pq-Formel:

x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

.

Herleitung der pq-Formel

Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

$x^2+px+q=0\mid -q$

$\Leftrightarrow x^2+px=-q\mid +(\frac{p}{2})^2$ (quadratische Ergänzung)

$\Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$ binomische Formel

$\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$ Wurzelziehen

$\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\mid-\frac{p}{2}$

\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

$x^2-11x+24=0\mid$ pq-Formel mit p=-11 und q=24

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-24}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-\frac{96}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\lor x=\frac{16}{2}$

$\Leftrightarrow x=3\lor x=8$

L=\{3;8\}

$y^2+7y-8=0\mid$ pq-Formel mit p=7 und q=-8

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+8}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow y=-\frac{16}{2}\lor y=\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow y=-8\lor y=1$

L=\{-8;1\}

$z^2-20z+96=0\mid$ pq-Formel mit p=-20 und q=96

$\Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{20}{2}\pm\sqrt{(\frac{20}{2})^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{10^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{100-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{4}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow z=8\lor z=12$

L=\{8;12\}

$x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0\mid$ pq-Formel mit $p=\frac{26}{9}$ und $q=\frac{544}{162}=\frac{272}{81}$ (gekürzt)

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{(\frac{13}{9})^2+\frac{544}{162}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{169}{81}+\frac{272}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{441}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\frac{21}{9}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{34}{9}\lor x=\frac{8}{9}$

L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}

Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x+8)\cdot(x-2)=0$

b) $(2x-6)\cdot(3x+5)=0$

c) $(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0$

Die Nullproduktregel

linker Faktor:

$x+8=0\mid-8$

$\Leftrightarrow x=-8$

rechter Faktor:

$x-2=0\mid+2$

$\Leftrightarrow x=2$

L=\{-8;2\}

linker Faktor:

$2x-6=0\mid+6$

$\Leftrightarrow 2x=6\mid :3$

$\Leftrightarrow x=3$

rechter Faktor:

$3x+5=0\mid -5$

$\Leftrightarrow 3x=-5\mid :3$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\mid$ als gemischte Zahl (muss nicht sein)

$\Leftrightarrow x=-1\frac{2}{3}$

$L=\{-1\frac{2}{3};3\}$

Beispiel zur quadratischen Ergänzung

linker Faktor:

$\frac{1}{2}x-7=0\mid +7$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=7\mid\cdot 2$

$\Leftrightarrow x=14$

rechter Faktor:

$\frac{2}{3}x+6=0\mid -6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x=-6\mid\cdot\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-9$

$L=\{-9;14\}$

Aufgabe 16

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.

a) $(x-3)^2=16$

b) $x^2+8x+16=49$

c) $x^2+8x=9$

d) $3x^2-3x-60=0$

quadratische Ergänzung

Gegebene quadratische Gleichung:

$2x^2-12x=32$

Normierung (auf Normalform bringen):

$x^2-6x=16$

Die linke Seite wird in die Form $x^2-2dx+d^2$ gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. $d^2$ wird auch auf der rechten Seite addiert.

Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.

Wir machen die quadratische Ergänzung:

$x^2-6x+9=16+9$

Wir bilden das Quadrat:

$(x-3)^2=25$

Wir ziehen die Wurzel:

$x-3=\pm 5\mid +3$

$\Leftrightarrow x=3\pm 5$

$\Leftrightarrow x=-2\lor x=8$

Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.

Tipp zu d)

$(x-3)^2=16$

$\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}$

$\Leftrightarrow x-3=4\lor x-3=-4$

$\Leftrightarrow x_1=7\lor x_2=-1$

L=\{-1;7\}

$x^2+8x+16=49$

$\Leftrightarrow (x+4)^2=49$

$\Leftrightarrow x+4=7\lor x+4=-7$

$\Leftrightarrow x_1=3\lor x_2=-11$

L=\{-11;3\}

$x^2+8x=9$

$\Leftrightarrow x^2+8x+16=9+16$

$\Leftrightarrow(x+4)^2=25$

$\Leftrightarrow x+4=5\lor x+4=-5$

$\Leftrightarrow x_1=1\lor x_2=-9$

L=\{-9;1\}

$3x^2-3x-60=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-20=0$

$\Leftrightarrow x^2-x=20$

$\Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow x_1=5\lor x_2=-4$

L=\{-4;5\}

Aufgabe 17**

Löse die quadratischen Gleichungen von a), b) und c). Du kannst Dir aussuchen, welches der obigen Lösungsverfahren Du verwendest. In d) geht es um einen Beweis einer wichtigen Aussage zum Zusammenhang zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung und ihren Koeffizienten p und q.

a) $(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22$

b) $(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x$

c) $(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3$

d) Der Satz von Vieta besagt: Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ und $x_1$ und $x_2$ deren Lösungen. Dann gilt $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$ .

Beweise den Satz von Vieta.

Wenn

x_1

und

x_2

die Lösungen der quadratischen Gleichung

x^2+px+q=0

sind, haben wir die zugehörigen Linearfaktoren

x-x_1

und

x-x_2

, d.h.

x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)

(vgl. Nullproduktregel und Aufgabe 15). Der Trick ist also,

(x-x_1)\cdot(x-x_2)

auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, um die Formeln für p und q aus dem Satz von Vieta zu erhalten.

$(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22\mid$ Ausmultiplizieren der Klammern auf der linken Seite

$\Leftrightarrow 2x^2+3x+2x+3=4x^2-22\mid$ Vereinfachen (Zusammenfassen)

$\Leftrightarrow 2x^2+5x+3=4x^2-22\mid$ Umdrehen (linke und rechte Seite vertauschen)

$\Leftrightarrow 4x^2-22=2x^2+5x+3\mid -2x^2$

$\Leftrightarrow 2x^2-22=5x+3\mid -5x$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-22=3\mid -3$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-25=0\mid :2$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}=0\mid$ pq-Formel

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{200}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{225}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{10}{4}\pm\frac{20}{4}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\lor x=5$

L=\{-2,5;5\}

$(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x\mid$ links die binomische Formel anwenden und rechts die Klammern auflösen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2-4x-x+4+9x\mid$ Vereinfachen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2+4x+4\mid-x^2$

$\Leftrightarrow 3x^2-12x+9=4x+4\mid-4x$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+9=4\mid -4$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+5=0$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{16}{3}x+\frac{5}{3}=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{5}{3}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{15}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=\frac{15}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=5$

L=\{5;\frac{1}{3}\}

$(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3\mid$ zweimal die binomische Formel

$\Leftrightarrow 18x^2+3=18x+39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x+3=39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x-36=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=2$

L=\{-1;2\}

Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich): Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-x\cdot x_2-x_1\cdot x+x_1\cdot x_2=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2$

und daher

p=-(x_1+x_2)

und

q=x_1\cdot x_2

.

Lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.

Additionsverfahren

Einsetzungsverfahren

Aufgabe 18

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Tipp

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Addiere Gleichung I zu Gleichung II.

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 8x + 0y = 16$

Berechne die Lösung für II.

$8x + 0y = 16\quad|:8$

$x = 2$

Setze x = 2 in I ein.

$3x + 4y = 22$

$3 \cdot 2 + 4y = 22$

$6 + 4y = 22\quad|-6$

$4y = 16\quad|:4$

$y = 4$

Lösung:

x = 2, y = 4

.

Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 19*

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Tipp 3

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad x + y = 18$

II\quad 4x + 6y = 84

Additionsverfahren:

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 0x + 2y = 12$

Löse die Gleichung II.

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Einsetzungsverfahren

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Löse I nach x auf.

$x + y =18 \quad| -y$

$x = 18 - y$

Setze die Gleichung für x in II ein

$4(18 - y) + 6y = 84$

$72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72$

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 20**

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Die erste und die zweite besitzen zusammen 20 Denare (römische Währung) mehr als die dritte Person. Die erste und die dritte besitzen zusammen 40 Denare mehr als die zweite Person. Die zweite und die dritte besitzen zusammen 30 Denare mehr als die erste Person. Wie viel besitzt jede der drei Personen? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)