Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Terme und Gleichungen

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme und Gleichungen

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

7x - 9y

.

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

5x = 10

.

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z$

Ausklammern:

3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)

.

Bei einer Gleichung mit einer Variablen, z.B. $5 + x = 10$ , ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.

Einige Menschen fragen sich: "Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Das kommt im Alltag oft vor, z.B. wenn es um (dein) Geld geht. Vielleicht kannst du es auch gebrauchen, um eine Million Euro zu gewinnen...?

Wiederholung: Bruchrechnung

Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man regelmäßig auf Brüche. Falls Du Dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir die folgenden Erklärungen an:

1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.

$\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}$

2. Vorgehensweise für ungleichnamige Brüche:

Ungleichnamige Brüche oder nicht gleichnamige Brüche sind Brüche, die unterschiedliche Nenner haben.

Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf denselben Nenner bringt. Hierzu muss mindestens einer der Brüche gekürzt oder erweitert werden. Oftmals müssen beide Brüche erweitert werden. Der neue, gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der alten Nenner. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

Kürzen

Allgemein:

$\frac{a}{b}$ kürzen mit n: $\frac{a:n}{b:n}$

Ein Beispiel:

$\frac{4}{12}$ kürzen mit 2: $\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}$

Erweitern

Allgemein:

$\frac{a}{b}$ erweitern mit m: $\frac{a \cdot m}{b \cdot m}$

Ein Beispiel:

\frac{2}{3}

erweitern mit 4:

\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen

Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen

Fasse zusammen.

a) $5x+18x$

b) $\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y$

c) $\frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x$

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel:

4x+14x=(4+14) \cdot x=18x

.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf denselben Nenner.

Beispiel:

\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}

.

a) $23x$

b) $6y$

c)

-\frac{26}{15}x

Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)* $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, gilt für Addition) und sortiere nach den Variablen!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$ .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und anschließend das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Fasse jeweils die Terme mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel :

3x+8x+5-4=11x+1

.

Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen. Gib besonders auf die Vorzeichen acht!

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c)

5y+6

Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse zusammen.

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)* $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz, es gilt für die Addition) und sortiere nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$ .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Additionen umschreiben und dann das Kommutativgesetz anwenden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen. Achte besonders auf die Vorzeichen!

a) $209x+ 47y + 24$

b) $15x+3y+17$

c)

7x+5y+3

Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

Fasse zusammen.

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c)* $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$ ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel:

3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x

.

Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$ , das $y$ fällt hier weg, da $0 \cdot y = 0$ sind.

c)

4x^3

Aufgabe 5 - Pferderennen! Kommst Du mit den Termen als Erste*r ins Ziel?

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5\cdot(8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel:

{\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8

. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.

a) $40-45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c)

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}

Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x \cdot (x-15y)$

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.

Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c)

x^2-15xy

Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat $(a+b)^2$ ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate ( $a^2$ und $b^2$ ) und der beiden Rechtecke (jeweils $ab$ ).

2. Binomische Fomel:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Binomische Formel:

(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent

()^2

bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel:

(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)

.

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel:

({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16

. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c)

36f^2+12ft+t^2

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 9 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a) $9x+9y+9z$

b) $81x+45y$

c) $5x-4xy+9xz$

d) $25a-35ab+50ax$

e) $8ax+24xy+64abxz$

f) $4abx+6axy+32abxyz$

Die 24 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Die 36 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die größte in beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist die 12. Also ist 12 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 24 und 36.

Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird als Faktor vor die Klammer gesetzt (ausgeklammert). Die verbleibenden Summanden in der Klammer sind jeweils das Ergebnis des Teilens durch den ggT.

Der ggT ist 9.

Der ggT ist 7x.

9(x+y+z)

9(9x+5y)

x(5-4y+9z)

5a(5-7b+10x)

8x(a+3y+8abz)

2ax(2b+3y+16byz)

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 10

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

Setze eine Länge als unbekannte Variable.

Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.

x=kürzere Seite

$2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen$

$2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen$

$4 \cdot x+76=132 \quad | -76$

$4 \cdot x=56 \quad | :4$

$x=14$

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

Aufgabe 11

Peter, sein Vater und seine Mutter sind zusammen 100 Jahre alt. Peters Vater ist dreimal so alt wie er und Peters Mutter ist 5 Jahre jünger als Peters Vater. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Vater und wie alt ist seine Mutter?

Führe eine unbekannte Variable x für ein Alter ein.

Mathematisiere ausgehend von dem Alter x durch geeignete Terme die anderen Altersangaben (z.B. bedeutet 5 Jahre älter x+5).

x=Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist $(3 \cdot x)$ das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter $(3 \cdot x-5)$ .

Also:

$x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen$

$7 \cdot x-5=100 \quad | +5$

$7 \cdot x=105 \quad | :7$

$x=15$

Peters Alter: 15

Alter von Peters Mutter: 40

Alter von Peters Vater: 45

Aufgabe 12

Merve schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie ihre Mitspielerin Lena. Marie erzielte 5 Tore weniger als Merve. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jede einzelne?

Setze von einer Spielerin die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.

Es ist egal, von welcher Spielerin man die Anzahl der Tore als Variable setzt.

x=Anzahl der Tore von Merve

$x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen$

$2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5$

$2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5$

$x=14$

Merve: 14 Tore

Lena: 7 Tore

Marie: 9 Tore

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

$x^1=x$ .

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$ , wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.

Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen

Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

$3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x$

$\Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4$

$\Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x$

$\Leftrightarrow 12 = 2x$

\Leftrightarrow 6 = x

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 14

Löse mit Hilfe der pq-Formel zunächst die quadratischen Gleichungen a) bis d).

a) $x^2-11x+24=0$

b) $y^2+7y-8=0$

c) $z^2-20z+96=0$

d) $x^2+48x+135=0$

Wenn Du noch mehr Übung brauchst, trainiere mit e) bis h) weiter.

e) $a^2+107a-108=0$

f) $x^2+6x+8=0$

g) $x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0$

h) $x^2-9x+20=0$

Wenn Du eine quadratische Gleichung

x^2+px+q=0

lösen willst, hilft Dir die pq-Formel:

x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

.

Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

$x^2+px+q=0\mid -q$

$\Leftrightarrow x^2+px=-q\mid +(\frac{p}{2})^2$ (quadratische Ergänzung)

$\Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$ binomische Formel

$\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$ Wurzelziehen

$\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\mid-\frac{p}{2}$

\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

$x^2-11x+24=0\mid$ pq-Formel mit p=-11 und q=24

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-24}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-\frac{96}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\lor x=\frac{16}{2}$

$\Leftrightarrow x=3\lor x=8$

L=\{3;8\}

$y^2+7y-8=0\mid$ pq-Formel mit p=7 und q=-8

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+8}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow y=-\frac{16}{2}\lor y=\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow y=-8\lor y=1$

L=\{-8;1\}

$z^2-20z+96=0\mid$ pq-Formel mit p=-20 und q=96

$\Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{20}{2}\pm\sqrt{(\frac{20}{2})^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{10^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{100-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{4}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow z=8\lor z=12$

L=\{8;12\}

$x^2+48x+135=0\mid$ pq-Formel mit p=48 und q=135

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{48}{2}\pm\sqrt{(\frac{48}{2})^2-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{24^2-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{576-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{441}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm21$

$\Leftrightarrow x=-45\lor x=-3$

L=\{-45;-3\}

$a^2+107a-108=0\mid$ pq-Formel mit p=107 und q=-108

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{(\frac{107}{2})^2+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{107^2}{2^2}+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11449}{4}+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11449}{4}+\frac{432}{4}}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11881}{4}}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\frac{109}{2}$

$\Leftrightarrow a=-\frac{216}{2}\lor a=\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow a=-108\lor a=1$

L=\{-108;1\}

$x^2+6x+8=0\mid$ pq-Formel mit p=6 und q=8

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{(\frac{6}{2})^2-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{3^2-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{1}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm 1$

$\Leftrightarrow x=-4\lor x=-2$

L=\{-4;-2\}

$x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0\mid$ pq-Formel mit $p=\frac{26}{9}$ und $q=\frac{544}{162}=\frac{272}{81}$ (gekürzt)

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{(\frac{13}{9})^2+\frac{544}{162}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{169}{81}+\frac{272}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{441}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\frac{21}{9}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{34}{9}\lor x=\frac{8}{9}$

L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}

$x^2-9x+20=0\mid$ pq-Formel mit p=-9 und q=20

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{(\frac{9}{2})^2-20}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}-20}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{80}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{8}{2}\lor x=\frac{10}{2}$

$\Leftrightarrow x=4\lor x=5$

L=\{4;5\}

Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x+8)\cdot(x-2)=0$

b) $(2x-6)\cdot(3x+5)=0$

c) $(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0$

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.

linker Faktor:

$x+8=0\mid-8$

$\Leftrightarrow x=-8$

rechter Faktor:

$x-2=0\mid+2$

$\Leftrightarrow x=2$

L=\{-8;2\}

linker Faktor:

$2x-6=0\mid+6$

$\Leftrightarrow 2x=6\mid :3$

$\Leftrightarrow x=3$

rechter Faktor:

$3x+5=0\mid -5$

$\Leftrightarrow 3x=-5\mid :3$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\mid$ als gemischte Zahl (muss nicht sein)

$\Leftrightarrow x=-1\frac{2}{3}$

$L=\{-1\frac{2}{3};3\}$

linker Faktor:

$\frac{1}{2}x-7=0\mid +7$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=7\mid\cdot 2$

$\Leftrightarrow x=14$

rechter Faktor:

$\frac{2}{3}x+6=0\mid -6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x=-6\mid\cdot\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-9$

$L=\{-9;14\}$

Aufgabe 16

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.

a) $(x-3)^2=16$

b) $x^2+8x+16=49$

c) $x^2+8x=9$

d) $3x^2-3x-60=0$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung in c) das Quadrat der Hälfte des gemischten Terms, damit Du die binomische Formel anwenden kannst.

Gegebene quadratische Gleichung:

$2x^2-12x=32$

Normierung (auf Normalform bringen):

$x^2-6x=16$

Die linke Seite wird in die Form $x^2-2dx+d^2$ gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. $d^2$ wird auch auf der rechten Seite addiert.

Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.

Wir machen die quadratische Ergänzung:

$x^2-6x+9=16+9$

Wir bilden das Quadrat:

$(x-3)^2=25$

Wir ziehen die Wurzel:

$x-3=\pm 5\mid +3$

$\Leftrightarrow x=3\pm 5$

$\Leftrightarrow x=-2\lor x=8$

Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.

Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.

$(x-3)^2=16$

$\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}$

$\Leftrightarrow x-3=4\lor x-3=-4$

$\Leftrightarrow x_1=7\lor x_2=-1$

L=\{-1;7\}

$x^2+8x+16=49$

$\Leftrightarrow (x+4)^2=49$

$\Leftrightarrow x+4=7\lor x+4=-7$

$\Leftrightarrow x_1=3\lor x_2=-11$

L=\{-11;3\}

$x^2+8x=9$

$\Leftrightarrow x^2+8x+16=9+16$

$\Leftrightarrow(x+4)^2=25$

$\Leftrightarrow x+4=5\lor x+4=-5$

$\Leftrightarrow x_1=1\lor x_2=-9$

L=\{-9;1\}

$3x^2-3x-60=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-20=0$

$\Leftrightarrow x^2-x=20$

$\Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow x_1=5\lor x_2=-4$

L=\{-4;5\}

Aufgabe 17**

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Du kannst Dir aussuchen, welches der obigen Lösungsverfahren Du verwendest.

a) $(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22$

b) $(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x$

c) $(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3$

d) Der Satz von Vieta besagt:

Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ und $x_1$ und $x_2$ deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$ .

Beweise den Satz von Vieta.

e) Bringe die Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ auf Scheitelpunktform und erläutere dabei die quadratische Ergänzung.

Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.

Wende auf der linken Seite die binomische Formel an.

Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.

Wenn

x_1

und

x_2

die Lösungen der quadratischen Gleichung

x^2+px+q=0

sind, haben wir die zugehörigen Linearfaktoren

x-x_1

und

x-x_2

, d.h.

x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)

(vgl. Nullproduktregel und Aufgabe 15). Der Trick ist also,

(x-x_1)\cdot(x-x_2)

auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, um die Formeln für p und q aus dem Satz von Vieta zu erhalten.

$(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22\mid$ Ausmultiplizieren der Klammern auf der linken Seite

$\Leftrightarrow 2x^2+3x+2x+3=4x^2-22\mid$ Vereinfachen (Zusammenfassen)

$\Leftrightarrow 2x^2+5x+3=4x^2-22\mid$ Umdrehen (linke und rechte Seite vertauschen)

$\Leftrightarrow 4x^2-22=2x^2+5x+3\mid -2x^2$

$\Leftrightarrow 2x^2-22=5x+3\mid -5x$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-22=3\mid -3$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-25=0\mid :2$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}=0\mid$ pq-Formel

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{200}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{225}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{10}{4}\pm\frac{20}{4}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\lor x=5$

L=\{-2,5;5\}

$(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x\mid$ links die binomische Formel anwenden und rechts die Klammern auflösen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2-4x-x+4+9x\mid$ Vereinfachen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2+4x+4\mid-x^2$

$\Leftrightarrow 3x^2-12x+9=4x+4\mid-4x$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+9=4\mid -4$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+5=0$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{16}{3}x+\frac{5}{3}=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{5}{3}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{15}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=\frac{15}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=5$

L=\{5;\frac{1}{3}\}

$(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3\mid$ zweimal die binomische Formel

$\Leftrightarrow 18x^2+3=18x+39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x+3=39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x-36=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=2$

L=\{-1;2\}

Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich): Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-x\cdot x_2-x_1\cdot x+x_1\cdot x_2=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2$

und daher

p=-(x_1+x_2)

und

q=x_1\cdot x_2

.

Man fügt eine nahrhafte Null ein, man macht eine Nullergänzung, damit man auf die binomische Formel kommt.

Gegebene quadratische Funktion:

$f(x)=y=ax^2+bx+c$

Ausklammern des Leitkoeffizienten:

$f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

Wir bringen den eingeklammerten Term in eine Form $x^2+2dx+d^2-d^2$ , so dass wir die erste binomische Formel anwenden können.

Dabei wird $d^2-d^2=0$ als nahrhafte Null oder als Nullergänzung bezeichnet.

Alternativ kann man natürlich auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addieren, statt auf der linken $d^2$ zu addieren und direkt wieder abzuziehen.

Da es sich bei der Ergänzung um ein Quadrat handelt, spricht man von der quadratischen Ergänzung.

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2)+c$

Bildung des Quadrats:

$f(x)=y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$

Ausmultiplizieren:

$f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Scheitelform:

$f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2+(c-\frac{b^2}{4a})$

Ablesen des Scheitelpunkts:

S(-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a})

Lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren (Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren) gelöst werden.

Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst.
Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit diese Unbekannte wegfällt.
Berechne die Unbekannten.

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren

Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf.
Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
Löse die Gleichung nach der in ihr vorkommenden Variablen auf.
Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne die andere Variable.

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren

Aufgabe 18

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Addiere Gleichung I zu Gleichung II.

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 8x + 0y = 16$

Berechne die Lösung für II.

$8x + 0y = 16\quad|:8$

$x = 2$

Setze x = 2 in I ein.

$3x + 4y = 22$

$3 \cdot 2 + 4y = 22$

$6 + 4y = 22\quad|-6$

$4y = 16\quad|:4$

$y = 4$

Lösung:

x = 2, y = 4

.

Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 19*

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.

Auf der rechten Seite der einen Gleichung sollte 18 stehen, auf der rechten Seite der anderen 84.

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad x + y = 18$

II\quad 4x + 6y = 84

Additionsverfahren:

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 0x + 2y = 12$

Löse die Gleichung II.

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Einsetzungsverfahren

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Löse I nach x auf.

$x + y =18 \quad| -y$

$x = 18 - y$

Setze die Gleichung für x in II ein

$4(18 - y) + 6y = 84$

$72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72$

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 20**

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Die erste und die zweite besitzen zusammen 20 Denare (römische Währung) mehr als die dritte Person. Die erste und die dritte besitzen zusammen 40 Denare mehr als die zweite Person. Die zweite und die dritte besitzen zusammen 30 Denare mehr als die erste Person. Wie viel besitzt jede der drei Personen? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.

Wenn Person A das Vermögen a besitzt und Person B das Vermögen b besitzt und die Person A 10€ mehr besitzt als Person B, kannst Du schreiben: a - b = 10€

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad a + b - c = 20$