Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Terme und Gleichungen

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

Damit du etwas anspruchsvollere Aufgaben direkt erkennst, sind Aufgaben, die dich fordern mit einem Stern (*) und knifflige Knobelaufgaben mit zwei Sternen (**) gekennzeichnet.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme und Gleichungen

Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

$7x - 9y$.

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

$5x = 10$.

Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z$

Ausklammern:

$3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)$.

Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B. $5 + x = 10$, ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, das heißt wahr, ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

Wiederholung: Bruchrechnung

Beim Rechnen mit Termen und Gleichungen stößt man auch regelmäßig auf Brüche. Falls Du dich damit noch ein wenig unsicher fühlst, schau Dir folgenden Erklärungen an:

1. Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

$\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}$

2. Vorgehensweise für ungleiche Brüche:

Ungleiche Brüche sind Brüche, bei denen beide Nenner unterschiedliche Werte haben.

Diese Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt. Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden. Anschließend kann wieder wie oben mit gleichen Nennern addiert werden.

Kürzen

Allgemein:

$\frac{a}{b}$ kürzen mit n: $\frac{a:n}{b:n}$

Ein Beispiel:

$\frac{4}{12}$ kürzen mit 2:$\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}$

Erweitern

Allgemein:

$\frac{a}{b}$ erweitern mit m: $\frac{a \cdot m}{b \cdot m}$

Ein Beispiel:

$\frac{2}{3}$ erweitern mit 4: $\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}$

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen

Aufgabe 1 - Terme mit einer Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x+18x$

b) $\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y$

c) $\frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x$

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel: $4x+14x=(4+14) \cdot x=18x$.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

Beispiel: $\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}$.

a) $23x$

b) $6y$

c) $-\frac{26}{15}x$

Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)* $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$.

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel: $x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x$

Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel : $3x+8x+5-4=11x+1$.

Kürze zunächst den Bruch und fasse dann zusammen. Gib besonders auf die Vorzeichen acht!

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c) $5y+6$

Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)* $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$.

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel: $x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x$

Kürze zunächst den Bruch und fasse anschließend zusammen. Achte besonders auf die Vorzeichen!

a) $209x+ 47y + 24$

b) $15x+3y+17$

c) $7x+5y+3$

Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c)* $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel: $3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x$.

Kürze zunächst und fasse dann zusammen.

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$, das $y$ fällt hier weg, da $0 \cdot y = 0$ sind.

c) $4x^3$

Aufgabe 5 - Pferderennen

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5\cdot(8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel: ${\color{blue}(-4)} \cdot ({\color{red}5}-{\color{green}7}) = {\color{blue}(-4)} \cdot {\color{red}5} - ({\color{blue}(-4)} \cdot {\color{green}7}) = -20 - (-28) = -20+28 = 8$. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommutativgesetz der Multiplikation zurück.

a) $40-45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c) $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$

Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x \cdot (x-15y)$

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.

Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c) $x^2-15xy$

Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden. Das Bild soll dir eine Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel geben:

Das große Quadrat $(a+b)^2$ ist gleich der Summe der beiden kleinen Quadrate ($a^2$ und $b^2$) und der beiden Rechtecke (jeweils $ab$).

2. Binomische Fomel:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Binomische Formel:

$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent $()^2$ bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: $(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)$.

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: $({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16$. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c) $36f^2+12ft+t^2$

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 9 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a) $9x+9y+9z$

b) $81x+45y$

c) $5x-4xy+9xz$

d) $25a-35ab+50ax$

e) $8ax+24xy+64abxz$

f) $4abx+6axy+32abxyz$

Wir wollen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 12 bestimmen. Die 42 ist in der 7er-Reihe. Denn $6\cdot 7=42$. Also ist 42 durch 7 teilbar. Eine Umkehraufgabe von $6\cdot 7=42$ ist also $42:7=6$. Wenn wir 42 durch 7 teilen, kommt also eine ganze Zahl heraus, nämlich die 6. Das ist mit Teilbarkeit gemeint, beim Teilen kommt eine ganze Zahl heraus. Merke Dir also den Teiler 7. Wir gehen alle anderen Einmaleinsreihen durch und fragen uns, in welchen die 42 vorkommt. Die 42 ist auch in der 2er-Reihe, somit ist sie durch 2 teilbar, 2 ist ein Teiler von 42. Und die 42 ist in der 3er-Reihe, also ist sie durch durch 3 teilbar, 3 ist ein Teiler von 42. Die 42 ist auch in der 6er-Reihe, also ist 6 ein Teiler von 42. Danach gehen wir über das kleine Einmaleins hinaus und suchen weitere Teiler. Natürlich ist die 42 auch durch 42 und durch 1 teilbar. Jede Zahl ist nämlich durch sich selbst und durch 1 teilbar. Wir fassen das zusammen: Die 42 hat die Teiler 1, 2, 3, 6, 7, 21 und 42. Nimm als nächstes die Zahl 12. Sie ist natürlich durch 12 und durch 1 teilbar. Außerdem hat die 12 die Teiler 2, 3, 4 und 6. Wir fassen das auch zusammen: Die 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die gemeinsamen Teiler von 42 und 12 sind also 1, 2, 3 und 6. Der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT wegen der Anfangsbuchstaben) von 12 und 42 ist also 6. Dies kann man kürzer schreiben: ggT(12,42)=6.

Die Teiler einer Zahl kannst Du schneller finden, wenn Du die Teilbarkeitsregeln kennst. Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Bestimme den ggT aller Summanden. Er wird vor die Klammer gesetzt. Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Die Summanden in der Klammer sind jeweils das, was beim Teilen durch den ggT (Weglassen) übrigbleibt.

Dieselbe Zahl:

Beispiel: Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir sie ausklammern: $3x+3y=3(x+y)$.

Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:

"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. 12 und 18 sind in der 6er-Reihe. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Also klammern wir die 6 aus: $12x+18y=6(2x+3y)$

Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens eine gemeinsame Variable:

Beispiel: Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 sind beide in der 7er-Reihe. Außerdem kommt die Variable x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir 7x aus: $21x+35xy=7x(3+5y)$.

$9(x+y+z)$

$9(9x+5y)$

$x(5-4y+9z)$

$5a(5-7b+10x)$

$8x(a+3y+8abz)$

$2ax(2b+3y+16byz)$

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 10

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

Setze eine Länge als unbekannte Variable.

Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.

x=kürzere Seite

$2 \cdot x+2 \cdot (x+38)=132 \quad | Vereinfachen$

$2 \cdot x+2 \cdot x+76=132 \quad | Vereinfachen$

$4 \cdot x+76=132 \quad | -76$

$4 \cdot x=56 \quad | :4$

$x=14$

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

Aufgabe 11

Peter ist zusammen mit seinem Vater und seiner Mutter zusammen 100 Jahre alt. Sein Vater ist 3 Mal so alt wie er selbst und seine Mutter ist 5 Jahre jünger als sein Vater. Wie alt ist Peter, sein Vater und seine Mutter?

Setze ein Alter als unbekannte Variable.

Mathematisiere ausgehend von einem Alter x durch Terme die anderen Alter (z.B. 5 Jahre älter bedeutet (x+5).

x= Alter von Peter

Wenn x das Alter von Peter ist, dann ist $(3 \cdot x)$ das Alter des Vaters und somit ist das Alter der Mutter $(3 \cdot x-5)$.

Also:

$x+3 \cdot x+(3 \cdot x-5)=100 \quad | Vereinfachen$

$7 \cdot x-5=100 \quad | +5$

$7 \cdot x=105 \quad | :7$

$x=15$

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vaters: 45

Aufgabe 12

Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?

Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.

Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.

x=Anzahl der Tore von Finn

$x+\frac{1}{2} \cdot x+(x-5)=30 \quad | Vereinfachen$

$2,5 \cdot x-5=30 \quad | +5$

$2,5 \cdot x=35 \quad | :2,5$

$x=14$

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

$x^1=x$.

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch das zugehörige Kapitel in diesem Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.

Aufgabe 13 - Lineare Gleichungen lösen

Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

$3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x$

$\Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4$

$\Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x$

$\Leftrightarrow 12 = 2x$

$\Leftrightarrow 6 = x$

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 14

Löse mit Hilfe der pq-Formel zunächst die quadratischen Gleichungen a) bis d).

a) $x^2-11x+24=0$

b) $y^2+7y-8=0$

c) $z^2-20z+96=0$

d) $x^2+48x+135=0$

Wenn Du noch mehr Übung brauchst, trainiere mit f) bis h) weiter.

e) $a^2+107a-108=0$

f) $x^2+6x+8=0$

g) $x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0$

h) $x^2-9x+20=0$

Wenn Du eine quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ lösen willst, hilft Dir die pq-Formel: $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

Die pq-Formel erhalten wir aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

$x^2+px+q=0\mid -q$

$\Leftrightarrow x^2+px=-q\mid +(\frac{p}{2})^2$(quadratische Ergänzung)

$\Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$binomische Formel

$\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q\mid$Wurzelziehen

$\Leftrightarrow x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\mid-\frac{p}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

$x^2-11x+24=0\mid$pq-Formel mit p=-11 und q=24

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-24}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{121}{4}-\frac{96}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{11}{2}\pm\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}\lor x=\frac{16}{2}$

$\Leftrightarrow x=3\lor x=8$

$L=\{3;8\}$

$y^2+7y-8=0\mid$pq-Formel mit p=7 und q=-8

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+8}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{32}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$

$\Leftrightarrow y_{1,2}=-\frac{7}{2}\pm\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow y=-\frac{16}{2}\lor y=\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow y=-8\lor y=1$

$L=\{-8;1\}$

$z^2-20z+96=0\mid$pq-Formel mit p=-20 und q=96

$\Leftrightarrow z_{1,2}=\frac{20}{2}\pm\sqrt{(\frac{20}{2})^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{10^2-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{100-96}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{4}$

$\Leftrightarrow z_{1,2}=10\pm\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow z=8\lor z=12$

$L=\{8;12\}$

$x^2+48x+135=0\mid$pq-Formel mit p=48 und q=135

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{48}{2}\pm\sqrt{(\frac{48}{2})^2-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{24^2-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{576-135}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm\sqrt{441}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-24\pm21$

$\Leftrightarrow x=-45\lor x=-3$

$L=\{-45;-3\}$

$a^2+107a-108=0\mid$pq-Formel mit p=107 und q=-108

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{(\frac{107}{2})^2+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{107^2}{2^2}+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11449}{4}+108}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11449}{4}+\frac{432}{4}}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\sqrt{\frac{11881}{4}}$

$\Leftrightarrow a_{1,2}=-\frac{107}{2}\pm\frac{109}{2}$

$\Leftrightarrow a=-\frac{216}{2}\lor a=\frac{2}{2}$

$\Leftrightarrow a=-108\lor a=1$

$L=\{-108;1\}$

$x^2+6x+8=0\mid$pq-Formel mit p=6 und q=8

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{(\frac{6}{2})^2-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{3^2-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-8}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm\sqrt{1}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-3\pm 1$

$\Leftrightarrow x=-4\lor x=-2$

$L=\{-4;-2\}$

$x^2+\frac{26}{9}x-\frac{544}{162}=0\mid$pq-Formel mit $p=\frac{26}{9}$ und $q=\frac{544}{162}=\frac{272}{81}$(gekürzt)

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{(\frac{13}{9})^2+\frac{544}{162}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{169}{81}+\frac{272}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{441}{81}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{13}{9}\pm\frac{21}{9}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{34}{9}\lor x=\frac{8}{9}$

$L=\{-3\frac{7}{9};\frac{8}{9}\}$

$x^2-9x+20=0\mid$pq-Formel mit p=-9 und q=20

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{(\frac{9}{2})^2-20}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}-20}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{80}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9}{2}\pm\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{8}{2}\lor x=\frac{10}{2}$

$\Leftrightarrow x=4\lor x=5$

$L=\{4;5\}$

Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x+8)\cdot(x-2)=0$

b) $(2x-6)\cdot(3x+5)=0$

c) $(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}x+6)=0$

Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.

linker Faktor:

$x+8=0\mid-8$

$\Leftrightarrow x=-8$

rechter Faktor:

$x-2=0\mid+2$

$\Leftrightarrow x=2$

$L=\{-8;2\}$

linker Faktor:

$2x-6=0\mid+6$

$\Leftrightarrow 2x=6\mid :3$

$\Leftrightarrow x=3$

rechter Faktor:

$3x+5=0\mid -5$

$\Leftrightarrow 3x=-5\mid :3$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\mid$als gemischte Zahl (muss nicht sein)

$\Leftrightarrow x=-1\frac{2}{3}$

$L=\{-1\frac{2}{3};3\}$

linker Faktor:

$\frac{1}{2}x-7=0\mid +7$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=7\mid\cdot 2$

$\Leftrightarrow x=14$

rechter Faktor:

$\frac{2}{3}x+6=0\mid -6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x=-6\mid\cdot\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-9$

$L=\{-9;14\}$

Aufgabe 16

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Mache bei c) und d) die quadratische Ergänzung.

a) $(x-3)^2=16$

b) $x^2+8x+16=49$

c) $x^2+8x=9$

d) $3x^2-3x-60=0$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung in c) das Quadrat der Hälfte des gemischten Terms, damit Du die binomische Formel anwenden kannst.

Gegebene quadratische Gleichung:

$2x^2-12x=32$

Normierung (auf Normalform bringen):

$x^2-6x=16$

Die linke Seite wird in die Form $x^2-2dx+d^2$ gebracht, so dass wir die zweite binomische Formel anwenden können. $d^2$ wird auch auf der rechten Seite addiert.

Man nimmt also das Quadrat der Hälfte von p und addiert es auf beiden Seiten der Gleichung. In unserem Beispiel müssen wir also 9 addieren, um die binomische Formel ("rückwärts") anwenden zu können.

Wir machen die quadratische Ergänzung:

$x^2-6x+9=16+9$

Wir bilden das Quadrat:

$(x-3)^2=25$

Wir ziehen die Wurzel:

$x-3=\pm 5\mid +3$

$\Leftrightarrow x=3\pm 5$

$\Leftrightarrow x=-2\lor x=8$

Die Lösungsmenge ist also L={-2;8}.

Teile die Gleichung erst durch 3. So bringst Du sie auf die sogenannte Normalform.

$L=\{-1;7\}$

$L=\{-11;3\}$

$L=\{-9;1\}$

$L=\{-4;5\}$

$(x-3)^2=16$

$\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}$

$\Leftrightarrow x-3=4\lor x-3=-4$

$\Leftrightarrow x_1=7\lor x_2=-1$

$L=\{-1;7\}$

$x^2+8x+16=49$

$\Leftrightarrow (x+4)^2=49$

$\Leftrightarrow x+4=7\lor x+4=-7$

$\Leftrightarrow x_1=3\lor x_2=-11$

$L=\{-11;3\}$

$x^2+8x=9$

$\Leftrightarrow x^2+8x+16=9+16$

$\Leftrightarrow(x+4)^2=25$

$\Leftrightarrow x+4=5\lor x+4=-5$

$\Leftrightarrow x_1=1\lor x_2=-9$

$L=\{-9;1\}$

$3x^2-3x-60=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-20=0$

$\Leftrightarrow x^2-x=20$

$\Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow x_1=5\lor x_2=-4$

$L=\{-4;5\}$

Aufgabe 17**

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen. Du kannst Dir aussuchen, welches der obigen Lösungsverfahren Du verwendest.

a) $(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22$

b) $(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x$

c) $(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3$

d) Der Satz von Vieta besagt:

Seien p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ und $x_1$ und $x_2$ deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$.

Beweise den Satz von Vieta.

e) Bringe die Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ auf Scheitelpunktform und erläutere dabei die quadratische Ergänzung.

Löse auf der linken Seite die Klammern auf. Fasse zusammen.

Wende auf der linken Seite die binomische Formel an.

Beachte die Minusklammer auf der linken Seite.

Wenn $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ sind, haben wir die zugehörigen Linearfaktoren $x-x_1$ und $x-x_2$, d.h. $x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ (vgl. Nullproduktregel und Aufgabe 15). Der Trick ist also, $(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, um die Formeln für p und q aus dem Satz von Vieta zu erhalten.

$(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22\mid$Ausmultiplizieren der Klammern auf der linken Seite

$\Leftrightarrow 2x^2+3x+2x+3=4x^2-22\mid$Vereinfachen (Zusammenfassen)

$\Leftrightarrow 2x^2+5x+3=4x^2-22\mid$Umdrehen (linke und rechte Seite vertauschen)

$\Leftrightarrow 4x^2-22=2x^2+5x+3\mid -2x^2$

$\Leftrightarrow 2x^2-22=5x+3\mid -5x$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-22=3\mid -3$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-25=0\mid :2$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}=0\mid$pq-Formel

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{200}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{225}{16}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{15}{4}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=-\frac{10}{4}\pm\frac{20}{4}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\lor x=5$

$L=\{-2,5;5\}$

$(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x\mid$links die binomische Formel anwenden und rechts die Klammern auflösen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2-4x-x+4+9x\mid$Vereinfachen

$\Leftrightarrow 4x^2-12x+9=x^2+4x+4\mid-x^2$

$\Leftrightarrow 3x^2-12x+9=4x+4\mid-4x$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+9=4\mid -4$

$\Leftrightarrow 3x^2-16x+5=0$

$\Leftrightarrow x^2-\frac{16}{3}x+\frac{5}{3}=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{5}{3}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{15}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{8}{3}\pm\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=\frac{15}{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\lor x=5$

$L=\{5;\frac{1}{3}\}$

$(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3\mid$zweimal die binomische Formel

$\Leftrightarrow 18x^2+3=18x+39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x+3=39$

$\Leftrightarrow 18x^2-18x-36=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\lor x=2$

$L=\{-1;2\}$

Ein möglicher Beweis des Satzes von Vieta (mit Koeffizientenvergleich): Der Satz von Vieta ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)\cdot x+x_1\cdot x_2$

und daher $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$.

Man fügt eine nahrhafte Null ein, man macht eine Nullergänzung, damit man auf die binomische Formel kommt.

Gegebene quadratische Funktion:

$f(x)=y=ax^2+bx+c$

Ausklammern des Leitkoeffizienten:

$f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

Wir bringen den eingeklammerten Term in eine Form $x^2+2dx+d^2-d^2$, so dass wir die erste binomische Formel anwenden können.

Dabei wird $d^2-d^2=0$ als nahrhafte Null oder als Nullergänzung bezeichnet.

Alternativ kann man natürlich auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addieren, statt auf der linken $d^2$ zu addieren und direkt wieder abzuziehen.

Da es sich bei der Ergänzung um ein Quadrat handelt, spricht man von der quadratischen Ergänzung.

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2)+c$

Bildung des Quadrats:

$f(x)=y=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$

Ausmultiplizieren:

$f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Scheitelform:

$f(x)=y=a(x+\frac{b}{2a})^2+(c-\frac{b^2}{4a})$

Ablesen des Scheitelpunkts:

$S(-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a})$

Lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

1. Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
2. Überlege, wie du die Gleichungen addieren musst, damit die Unbekannte weg fällt
3. Berechne die Unbekannten

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/additionsverfahren

1. Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
2. Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
3. Gleichung nach der Variablen auflösen
4. Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Beispiele dafür findest Du hier: https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren

Aufgabe 18

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 8x + 0y = 16$

Berechne die Lösung für II

$8x + 0y = 16\quad|:8$

$x = 2$

Setze x = 2 in I ein

$3x + 4y = 22$

$3 \cdot 2 + 4y = 22$

$6 + 4y = 22\quad|-6$

$4y = 16\quad|:4$

$y = 4$

Lösung:

$x = 2, y = 4$.

Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 19*

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Die Lösung kannst Du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen. Die Variablen stehen für die Anzahl der Vier- bzw. Sechsbettzimmer.

Eine Gleichung sollte 18, die andere 84 als Ergebnis haben.

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Additionsverfahren:

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 0x + 2y = 12$

Löse die Gleichung II.

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Einsetzungsverfahren

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Löse I nach x auf.

$x + y =18 \quad| -y$

$x = 18 - y$

Setze die Gleichung für x in II ein

$4(18 - y) + 6y = 84$

$72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72$

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 20**

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um 40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30 Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. a, b und c) berechnen.

Wenn Person A 10€ mehr hat als Person B, gilt: A - B = 10€

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad a + b - c = 20$

$II\quad a - b + c = 40$

$III\quad -a + b + c =30$

$I\quad a + b - c = 20$

$II\quad a - b + c = 40$

$III\quad -a + b + c = 30$

Addiere I + II und I + III.

$I\quad a + b - c = 20$

$II\quad 2a + 0b + 0c = 60$

$III\quad 0a + 2b + 0c = 30$

Löse die Gleichungen II und III.

$II\quad 2a = 60 \quad| :2$

$II\quad a = 30$

$III\quad 2b = 50 \quad| :2$

$III\quad b = 25$

Setze a und b in I ein.

$a + b - c = 20$

$30 + 25 - c = 20 \quad| -30 \quad| - 25$

$-c = -35$

$c = 35$

Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare.