Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel:

4x+14x=(4+14) \cdot x=18x

.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

Beispiel:

\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}

.

a) $23x$

b) $6y$

c)

-\frac{26}{15}x

Aufgabe 2 - Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)* $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$ .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Fasse jeweils die Werte mit gleicher Variable zusammen.

Beispiel :

3x+8x+5-4=11x+1

.

Tipp 3 für c)

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c)

5y+6

Aufgabe 3 - Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)* $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$ .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Tipp 2 für c)

a) $209x+ 47y + 24$

b) $15x+3y+17$

c)

7x-5y+3

Aufgabe 4 - Terme mit Variablen und Exponenten

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c)* $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$ ) dürfen bei der Addition nicht zusammengefasst werden!

Beispiel:

3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x

.

Tipp 2 für c)

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$ , das $y$ fällt hier weg, da $0 \cdot y = 0$ sind.

c)

4x^3

Aufgabe 5 - Pferderennen

Klammern in Termen auflösen

Aufgabe 6 - Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5 (8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel:

{\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48

. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

a) $40+45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c)

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}

Aufgabe 7 - Terme mit variablen Faktoren

Aufgabe 8 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x (x-15y)$

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c)

x^2-15xy

Aufgabe 9 - Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.

und

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent

()^2

bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel:

(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)

.

Tipp 3

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel:

({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16

. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c)

36f^2+12ft+t^2

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Aufgabe 10 - Ausklammern

Klammere möglichst viel aus.

a) $9x+9y+9z$

b) $81x+45y$

c) $5x-4xy+9xz$

d) $25a-35ab+50ax$

e) $8ax+24xy+64abxz$

f) $4abx+6axy+32abxyz$

Tipp 1, allgemeiner Tipp

Tipp 2, Tipp zu a)

Dieselbe Zahl:

"Beispiel" Bei 3x+3y soll ausgeklammert werden. 3x und 3y haben die 3 gemeinsam. Also können wir folgendermaßen ausklammern:

3x+3y=3(x+y)

.

Tipp 3, Tipp zu b)

Nicht dieselbe Zahl, aber die Zahlen haben einen gemeinsamen Teiler:

"Beispiel" Bei 12x+18y soll ausgeklammert werden. Der ggT ist 6. Also klammern wir die 6 aus:

12x+18y=6(2x+3y)

Tipp 4, Tipp zu c)

Gemeinsamer ggT der Zahlen und mindestens ein gemeinsamer Buchstabe:

"Beispiel" Bei 21x+35xy soll ausgeklammert werden. Die 21 und die 35 haben den ggT 7. Außerdem kommt der Buchstabe x bei beiden Summanden vor. Also klammern wir das 7x aus:

21x+35xy=7x(3+5y)

.

9(x+y+z)

.

9(9x+5y)

x(5-4y+9z)

.

Lösungen von allen Teilaufgaben

5a(5-7b+10x)

.

Lösung von e)

8x(a+3y+8abz)

.

Lösung von f)

2ax(2b+3y+16byz)

.

a) $9(x+y+z)$ .

b) $9(9x+5y)$ .

c) $x(5-4y+9z)$ .

d) $5a(5-7b+10x)$ .

e) $8x(a+3y+8abz)$ .

f)

2ax(2b+3y+16byz)

Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 11

Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?

x=mein Alter

$x+3x+(3x-5)=100$

$5x=105$

$x=15$

mein Alter: 15

Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45

Aufgabe 12

Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?

x=Anzahl der Tore von Finn

$x+1/2 \cdot x+(x-5)=30$

$2,5x=35$

$x=14$

Finn: 14 Tore

Jürgen: 7 Tore

Herbert: 9 Tore

Aufgabe 13

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

x=kürzere Seite

$2x+2(x+38)=132$

$2x+2x+76=132$

$4x=56$

$x=14$

kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

Lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:

$x^1=x$ .

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$ , wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Zur Wiederholung schaue dir doch diesen Lernpfad zu linearen Funktionen nochmal an.

Aufgabe 14 - Lineare Gleichungen lösen

Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

Beispiel:

$3x + 8 = 5x -4 \quad \quad \quad | -3x$

$\Leftrightarrow 8 = 5x -4 -3x \quad \quad | +4$

$\Leftrightarrow 8 +4 = 5x -3x$

$\Leftrightarrow 12 = 2x$

\Leftrightarrow 6 = x

Quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 15

Löse mit Hilfe der pq-Formel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $x^2-11x+24=0$

b) $y^2+7y-8=0$

c) $z^2-20z+96=0$

d) $x^2+48x+135=0$

e) $a^2+107a-108=0$

f) $x^2+6x+8=0$

g) $x^2+\frac{26}{9}x+\frac{16}{9}=0$

h) $x^2-9x+20=0$

L=\{3;8\}

L=\{-8;1\}

L=\{8;12\}

L=\{-45;-3\}

Lösung von e)

L=\{-108;1\}

Lösung von f)

L=\{-4;2\}

Lösung von g)

L=\{\frac{8}{9};2\}

Lösung von h)

L=\{4;5\}

Aufgabe 16

Löse mit Hilfe der Nullproduktregel die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x+8)\cdot(x-2)=0$

b) $(2x-6)\cdot(3x+5)=0$

c) $(\frac{1}{2}x-7)\cdot(\frac{2}{3}+6)=0$

Tipp

L=\{-8;2\}

L=\{-2\frac{2}{3};3\}

L=\{-9;14\}

Aufgabe 17

Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x-3)^2=16$

b) $x^2+8x+16=49$

c) $x^2+8x=9$

d) $3x^2-3x-60=0$

Tipp zu d)

L=\{-1;7\}

L=\{-11;3\}

L=\{-9;1\}

L=\{-4;5\}

Rechenweg zu a)

$(x-3)^2=16$

$\sqrt{(x-3)^2}=\sqrt{16}$

$x-3=4\lor x-3=-4$

$x_1=7\lor x_2=-1$

L=\{-1;7\}

Rechenweg zu b)

$x^2+8x+16=49$

$(x+4)^2=49$

$x+4=7\lor x+4=-7$

$x_1=3\lor x_2=-11$

L=\{-11;3\}

Rechenweg zu c)

$x^2+8x=9$

$x^2+8x+16=9+16$

$(x+4)^2=25$

$x+4=5\lor x+4=-5$

$x_1=1\lor x_2=-9$

L=\{-9;1\}

Rechenweg zu d)

$3x^2-3x-60=0$

$x^2-x-20=0$

$x^2-x=20$

$x^2-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$

$(x-\frac{1}{2})^2=20\frac{1}{4}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\lor x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$

$x_1=5\lor x_2=-4$

L=\{-4;5\}

Aufgabe 18*

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

a) $(x+1)\cdot(2x+3)=4x^2-22$

b) $(2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x$

c) $(3x-4)^2-(4x-3)^2+(5x-2)(5x+2)=18(x+2)+3$

d) $(2y+6)(17,5-2,5y)-(10+5y)(2y-3)=(7y+20)(4-1,4y)$

L=\{4,95;-2,5\}

L=\{5;\frac{1}{3}\}

L=\{-1;2\}

L=\{-5;-2\frac{3}{26}\}

Lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es unterschiedliche Verfahren und Herangehensweisen. Die folgenden Aufgaben können alle mithilfe von zwei Verfahren gelöst werden:

Additionsverfahren

Einsetzungsverfahren

Aufgabe 19

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft:

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Tipp

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 5x - 4y = -6$

Addiere Gleichung I zu Gleichung II

$I\quad 3x + 4y = 22$

$II\quad 8x + 0y = 16$

Berechne die Lösung für II

$8x + 0y = 16\quad|:8$

$x = 2$

Setze x = 2 in I ein

$3x + 4y = 22$

$3 \cdot 2 + 4y = 22$

$6 + 4y = 22\quad|-6$

$4y = 16\quad|:4$

$y = 4$

Lösung:

x = 2, y = 4

.

Lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 20*

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer (Vier- und Sechsbettzimmer). Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Tipp 3

Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I\quad x + y = 18$

II\quad 4x + 6y = 84

Additionsverfahren:

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Addiere das (-4)-fache von I zu II.

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 0x + 2y = 12$

Löse die Gleichung II.

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Einsetzungsverfahren

$I\quad x + y = 18$

$II\quad 4x + 6y = 84$

Löse I nach x auf.

$x + y =18 \quad| -y$

$x = 18 - y$

Setze die Gleichung für x in II ein

$4(18 - y) + 6y = 84$

$72 - 4y + 6y = 84 \quad| -72$

$2y = 12 \quad| :2$

$y = 6$

Setze y in I ein.

$x + y =18$

$x + 6 = 18 \quad| -2$

$x = 12$

Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 21**

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der Erste und der Zweite besitzen zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der Dritte; der Erste und der Dritte haben zusammen um 40 Denare mehr als der Zweite; und der Zweite und der Dritte haben zusammen um 30 Denare mehr als der Erste. Wie viel besitzt jeder der Drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)