Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel:

4x+14x=(4+14) \cdot x=18x

.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

Beispiel:

\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} =  \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}

.

a) $23x$

b) $6y$

c)

-\frac{52}{15}x

2. Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)** $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$ .

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Fasse jeweils die x-Werte und die Konstanten zusammen.

Beispiel :

3x+8x+5-4=11x+1

.

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c)

5y+6

3. Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)** $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$ .

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel:

x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x

Zu c):

1) Nutze das Distributivgesetz und schreibe die beiden Brüche unter einen Bruchstrich!

Beispiel: $\frac{3x}{3}+\frac{6y+2x}{3}=\frac{1}{3} \cdot (3x)+ \frac{1}{3} \cdot (6y+2x)=\frac{1}{3}(3x+6y+2x)= \frac{3x+6y+2x}{3}$

2) Beachte zunächst nur den Zähler und orientiere dich beim Zusammenfassen an Tipp 1.

Beispiel $\frac{3x+y+2x}{3}= \frac{3x+2x+6y}{3}=\frac{5x+6y}{3}$

3) Nutze wieder das Distributivgesetz, um jeden Teilterm durch den Nenner zu teilen.

Beispiel:

\frac{5x+6y}{3} = \frac{1}{3} \cdot (5x+6y) = \frac{1}{3} \cdot (5x) + \frac{1}{3} \cdot (6y)

.

a) $209x+ 37y + 24$

b) $15x+3y+17$

c)

7x-5y+3

Terme mit Variablen und Exponenten

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c) $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$ ) dürfen nicht zusammengefasst werden!

Beispiel:

3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x

.

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$

c)

4x^3

Pferderennen

Klammern in Termen auflösen

Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5 (8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel:

{\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48

. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

a) $40+45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c)

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}

Terme mit variablen Faktoren

Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x (x-15y)$

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c)

x^2-15xy

11. Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.

und

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent

()^2

bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel:

(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)

.

Tipp 3

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel:

({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16

. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c)

36f^2+12ft+t^2

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Hier vielleicht mal eine Learning App?!

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Aufgabe

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Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 1

Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?

${\displaystyle x=mein Alter x+3x+(3x-5)=100 5x=105 x=15}$ mein Alter: 15 Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45

Aufgabe 2

Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?

${\displaystyle x=Anzahl der Tore von Finn x+1/2 \cdot x+(x-5)=30 2,5x=35 x=14}$

Finn: 14 Tore, Jürgen: 7 Tore, Herbert: 9 Tore

Aufgabe 3

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

${\displaystyle x=kürzere Seite 2x+2(x+38)=132 2x+2x+76=132 4x=56 x=14}$ kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: ( $x^1=x$ ).

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$ , wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Gleichungen lösen

quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 1 einfach

...

Aufgabe 2 mittel

...

Aufgabe 3 schwierig

...

An Brüche denken

lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Aufgabe 1 LGS

Löse das folgende Gleichungssystem:

I $3x + 4y = 22$

II $5x - 4y = -6$

Tipp