Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Terme und Gleichungen

Therme und Bäder

Ein Thermalbad (auch kurz Therme genannt) ist eine Badeanlage, in der natürliches, meist mineralisiertes Grundwasser mit einer Quellaustrittstemperatur von über 20 °C[1] zum Einsatz kommt. Diese Thermalwässer können aus einer natürlichen Quelle stammen oder durch eine Tiefbohrung erschlossen worden sein. Das Thermalwasser wirkt entspannend auf die Muskulatur, anregend für den Kreislauf und lindert mit seinen mineralischen Bestandteilen chronische Erkrankungen der Gelenke, aber auch Rheuma oder Allergien.

Wiederholung: Terme und Gleichungen

Lies dir die folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

$7x - 9y$.

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6)

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

$5x = 10$.

Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier ein paar Beispiele.

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z$

Ausklammern:

$3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)$.

Bei einer Gleichung mit einer Variable, z.B. $5 + x = 10$ ist vor allem derjenige x -Wert von Interesse, für den die Gleichung erfüllt, dass heißt wahr ist.

Der x-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, heißt Lösung der Gleichung.

"Wozu brauche ich das alles überhaupt?!". Gute Frage! Vielleicht, um eine Million Euro zu gewinnen...?

Das Geld bekommst du übrigens von deinem Sitznachbarn.

Wiederholung: Bruchrechnung

Für jeden der sich noch unsicher mit Brüchen fühlt, eine knappe Zusammenfassung für das Thema, über das man mit Pizza so gut reden kann.

Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

$\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}$

Vorgehensweise für ungleiche Brüche:

$\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}$

Brüche mit verschiedenen Nennern addiert man, indem man die Brüche auf einen Nenner bringt. Hierzu müssen die Brüche gekürzt oder erweitert werden.

Kürzen

$\frac{4}{12}$ kürzen mit 2:$\frac{4:2}{12:2}=\frac{2}{6}$

Erweitern

$\frac{2}{3}$ erweitern mit 4: $\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}$

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot b}{c \cdot d}$

Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammenfassen

1. Terme mit einer Variablen

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x+18x$ b) $\frac{11}{2}y + \frac{2}{4}y$

c) $\frac{4}{6}x - \frac{12}{5}x$

Nutze das Distributivgesetz! Klammere die Variable aus und fasse den Term innerhalb der Klammer zusammen.

Beispiel: $4x+14x=(4+14) \cdot x=18x$.

Zu b) und c): Um die Brüche zu addieren oder subtrahieren, bringe sie auf einen Nenner.

Beispiel: $\frac{3}{5}+\frac{4}{3} = \frac{9}{15}+\frac{20}{15} = \frac{9+20}{15} = \frac{29}{15}$.

a) $23x$

b) $6y$

c) $-\frac{52}{15}x$

2. Terme mit einer Variablen und Konstanten

Fasse die Terme zusammen.

a) $5x + \frac{4}{2}x - 5 + 2$

b) $\frac{10}{5} + 20z + \frac{6}{3}z - \frac{20}{4}$

c)** $\frac{12+21y}{3} - \frac{4y - 4}{2}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach der Variable!

Beispiel: $3x+5+8x-4=3x+8x+5-4$.

Beachte: Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel: $x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x$

Fasse jeweils die x-Werte und die Konstanten zusammen.

Beispiel : $3x+8x+5-4=11x+1$.

a) $7x-3$

b) $22z-3$

c) $5y+6$

3. Terme mit zwei Variablen

Fasse die Terme zusammen

a) $214x + 24y - 5x + 23y + 24$

b) $\frac{6}{2}x +21 + 12x - 4 + 0 \cdot x + \frac{24}{6}y - y$

c)** $\frac{33y+21x}{3} - \frac{18y - 9}{3}$

Nutze das Kommutativgesetz (gilt für Addition) und sortiere den Term nach Variablen!

Beispiel: $3x+5y+9x-4+4y=3x+8x+5y+4y-4=11x+9y-4$.

Beachte Du kannst auch Subtraktionen als Addition umschreiben und so das Kommutativgesetz anweden.

Beispiel: $x-y = x+(-y) = (-y)+x = -y+x$

Zu c):

1) Nutze das Distributivgesetz und schreibe die beiden Brüche unter einen Bruchstrich!

Beispiel: $\frac{3x}{3}+\frac{6y+2x}{3}=\frac{1}{3} \cdot (3x)+ \frac{1}{3} \cdot (6y+2x)=\frac{1}{3}(3x+6y+2x)= \frac{3x+6y+2x}{3}$

2) Beachte zunächst nur den Zähler und orientiere dich beim Zusammenfassen an Tipp 1.

Beispiel$\frac{3x+y+2x}{3}= \frac{3x+2x+6y}{3}=\frac{5x+6y}{3}$

3) Nutze wieder das Distributivgesetz, um jeden Teilterm durch den Nenner zu teilen.

Beispiel: $\frac{5x+6y}{3} = \frac{1}{3} \cdot (5x+6y) = \frac{1}{3} \cdot (5x) + \frac{1}{3} \cdot (6y)$.

a) $209x+ 37y + 24$

b) $15x+3y+17$

c) $7x-5y+3$

Terme mit Variablen und Exponenten

a) $24x^2 + 25y - 13x^2 + 3y - 24$

b) $\frac{3}{4}x^2 + 3 x+ \frac{5}{4}y - 5x -\frac{20}{16}y - 2$

c) $\frac{4 x^3 + 6x^2}{2} + \frac{10x^3-15x^2}{5}$

Gleiche Variablen mit unterschiedlichem Exponenten (z.B. $x$ und $x^2$) dürfen nicht zusammengefasst werden!

Beispiel: $3x^2+5x+9x^2=12x^2+5x$.

a) $11x^2+28y-24$

b) $\frac{3}{4}x^2 -2x -2$

c) $4x^3$

Pferderennen

Klammern in Termen auflösen

Terme mit konstanten Faktoren

Löse die Klammern auf.

a) $5 (8-9y)$

b) $(2y-6x)\cdot(-\frac{5}{6})$

c) $\frac{1}{2} \cdot (x+\frac{2}{3})$

Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer. Die Vorzeichen der Ergebnisse werden übernommen. Bei einer Subtraktion wird entsprechend gleich gerechnet. Beispiel: ${\color{blue}4} \cdot ({\color{red}5}+{\color{green}7}) = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}5} + {\color{blue}4} \cdot {\color{green}7} = 20+28 = 48$. Dieser Tipp geht auf das Distributivgesetz zurück.

zu b): Ob in dem Produkt erst die Klammer oder erst der konstante Faktor steht, ist egal. Es würde in beiden Fällen das gleiche Ergebnis herauskommen. Dies geht auf das Kommuntativgesetz der Multiplikation zurück.

a) $40+45y$

b) $-\frac{5}{3}y+5x$

c) $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$

Terme mit variablen Faktoren

Variablen außerhalb der Klammer ändern nichts am Vorgehen.

Löse erst die einfachen Aufgaben, die dir keine Schwierigkeiten bereiten. Später kannst du dann eventuell durch Ausschließen die richtige Zuordnung finden.

Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $3x \cdot (11+5y)$

b) $(11x-10y) \cdot 3x$

c) $x (x-15y)$

Auch wenn außerhalb der Klammer eine Variable steht, ändert sich das Vorgehen nicht.

Achte auf die unterschiedlichen Variablen.

a) $33x+15xy$

b) $33x^2-30xy$

c) $x^2-15xy$

11. Terme mit quadratischen Klammern

Löse die Klammern auf.

a) $(7+5b)^2$

b) $(5c+6d)^2$

c) $(-6f-t)^2$

Du kannst hier die binomischen Formeln anwenden.

und $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Statt die binomischen Formeln anzuwenden, kannst du die Klammer auch per Hand ausmultiplizieren. Der Exponent $()^2$ bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispiel: $(x+4)^2=(x+4) \cdot (x+4)$.

Beim Multiplizieren von zwei Klammern, muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Beispiel: $({\color{blue}x}+{\color{red}4}) \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) + {\color{red}4} \cdot ({\color{Orange}x}+{\color{green}4}) = {\color{blue}x} \cdot {\color{Orange}x} + {\color{blue}x} \cdot {\color{green}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{Orange}4} + {\color{red}4} \cdot {\color{green}4} = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16$. Diese Regel geht auf die doppelte Anwendung des Distributivgesetzes zurück.

a) $49+70b+25b^2$

b) $25c^2+60cd+36d^2$

c) $36f^2+12ft+t^2$

Terme durch Ausklammern in Produkte umformen

Hier vielleicht mal eine Learning App?!

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Aufgabe

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Terme und Gleichungen zur Beschreibung von Sachsituationen

Aufgabe 1

Mein Vater, meine Mutter und ich sind zusammen 100 Jahre alt. Mein Vater ist 3 Mal so alt wie ich und meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater. Wie alt bin ich, mein Vater und meine Mutter?

Setze ein Alter als unbekannte Variable.

$x=mein Alter x+3x+(3x-5)=100 5x=105 x=15$ mein Alter: 15 Alter meiner Mutter: 40

Alter meines Vater: 45

Aufgabe 2

Finn schoss in der letzten Saison doppelt so viele Tore wie sein Mitspieler Jürgen. Herbert erzielte 5 Tore weniger als Finn. Alle drei schossen insgesamt 30 Tore. Wie viele Tore erzielte jeder einzelne?

Setze von einem Spieler die Anzahl der Tore als unbekannte Variable.

Es ist egal von welchem Spieler man die Anzahl der Tore als Variable setzt.

$x=Anzahl der Tore von Finn x+1/2 \cdot x+(x-5)=30 2,5x=35 x=14$

Finn: 14 Tore, Jürgen: 7 Tore, Herbert: 9 Tore

Aufgabe 3

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von 132 Längeneinheiten. Eine Seite ist 38 Längenheiten kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten des Parallelogramms?

Setze eine Länge als unbekannte Variable.

Ein Parallelogramm hat jeweils 2 gleich lange Seiten.

$x=kürzere Seite 2x+2(x+38)=132 2x+2x+76=132 4x=56 x=14$ kürzere Seite: 14

längere Seite: 52

lineare Gleichungen lösen

Was sind überhaupt lineare Gleichungen?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: ($x^1=x$).

Ihre einfachste Form ist: $a \cdot x + b = 0$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable.

Gleichungen lösen

Bringe die Teilterme mit einer Variablen und die ohne Variablen auf jeweils eine Seite.

quadratische Gleichungen lösen

Aufgabe 1 einfach

...

Aufgabe 2 mittel

...

Aufgabe 3 schwierig

...

An Brüche denken

lineare Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben nutzen

Aufgabe 1 LGS

Löse das folgende Gleichungssystem:

I $3x + 4y = 22$

II $5x - 4y = -6$

Du kannst zum Lösen das Additionsverfahren benutzen, um die Variable y zu eliminieren.

x = 2, y = 4.

Aufgabe 2 LGS

In einer Jugendherberge gibt es 18 Zimmer (Vier- und Sechsbettzimmer). Insgesamt können 84 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für zwei Variablen (z.B. x und y) berechnen.

Wähle x als "Anzahl der Vierbett-" und y als "Anzahl der Sechsbettzimmer"

In deiner ersten Gleichung sollte das Ergebnis 18, in der zweiten 84 sein.

Es gibt 12 Vier- und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 3 LGS

Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der erste und der zweite besitzen zusammen um 20 Denare (römische Währung) mehr als der dritte; der erste und der dritte haben zusammen um 40 Denare mehr als der zweite; und der zweite und der dritte haben zusammen um 30 Denare mehr als der erste. Wieviel besitzt jeder der drei? (nach Diophant, 3. Jh. n. Chr.)

Die Lösung kannst du mithilfe eines Gleichungssystems für drei Variablen (z.B. x, y und z) berechnen.

Wenn Peter 10€ mehr hat als Tom, gilt: "Geld von Peter" - "Geld von Tom" = 10€

Wende zur Lösung des Gleichungssystems das Additionsverfahren an.

Der Erste hat 30, der Zweite 25 und der Dritte 35 Denare.